论公理（On Axioms）

1 关于公理问题的背景

关于公理，依然众说纷纭，旧的权威说法，未必可靠。这涉及科学实证主义与科学证伪主义两种世界观，不可不察。

公理究竟：是可证明的还是不可证明的？是可以证实的还是可以证伪的？

公理究竟：只有几何公理还是另有代数公理？只有数学公理还是另有其它公理？

公理究竟：是普遍适用的还是局部适用的？是有特定条件的还是无条件的？

不同领域，有哪些公理并不成立而需要摒弃或降级？如何建立科学公理集？

2 公理的本义与定义

公理是一个舶来品。英文公理axion有两词素，[axi]即axis（轴，作为核心的东西），[om]即matter（玩意）。字面意思：公理是认知领域的核心命题。

由于语言与术语固有的冗余性与交叉性，有必要对公理做严格的定义。定义如下：

公理，是适用于特定认知领域（即科学领域）的公认理由（public reasons）、公设或基底假设（basal postulates）、原理或基本原则（first principles）、终结性动因或第一推动力（first cause）的统称。

公理有时也叫公设postulate，post是back up（支撑），late是carry（拿来），字面意思：公设是支撑其它命题的原始命题。

3 公理，应有不同的范畴

事实上，不同范畴的科学，遵守不同的公理。同一范畴的科学，遵从同一个公理。

科学，是各门学科（涉及基础理论研究与生产技术实践）系统化知识的统称。科学，有时也叫学科（subject）。

数学是研究数形关系的科学。数学有数学公理，包括几何学公理与代数学公理。

物理是研究动力关系的科学。物理有物理公理，包括结构学公理与运动学公理。

学科，有时也叫科目（course）。例如，中医是医学上的学科。几何是数学上的学科。

科目与学科与科学的隶属关系，如下

【科目】∈【学科】∈【科学】

例：立体几何学∈几何学∈数学

例：电子学∈电动力学∈物理学

例：管理学∈经济学∈社会科学

4 公理，应有不同的层次

根据定义，公理是有层次的。注意，把公理局限于几何公理是目光短浅的。

●几何学公理+代数学公理∈数学公理。

几何公理如：两点间直线距离最短；代数公理如：1+1=2，e=lim(1+1/n)ⁿ(n→∞)。

●数学公理+逻辑公理+哲学公理∈思维科学公理。

逻辑公理如：同一律·排中律·矛盾律·充足理由律，概念的外延决定概念的内涵原理，

尤其是【命题法则】，即：断后证（Judge and reason），即谁主张谁举证！

哲学公理如：对立统一法则，量变质变发展，物质决定意识法则，语境思维法则。

●思维科学公理+自然科学公理+人文科学公理∈科学公理。

自然科学公理如：最小作用量原理，熵增加原理，封闭体系守恒与转换原理。

人文科学公理如：需求力与供给力平衡原理，社会节约劳动原理，用进废退原理。

5 公理，都有特定的条件

公理，是基底的本原的科学真理。公理与真理一样，具有特定的适用条件。

例如，【直线段最短】只适合平面几何，不适合曲面几何。【1+1=2】只适合静态叠加，不适合动态叠加。【熵增原理】与【守恒原理】只适合封闭体系。【光速不变】只适合零点真空参照系，不适合动态参照系。【自力更生】只适合被封锁威胁条件，不适合良好合作条件。

6 公理，都是不可证伪的

公理，作为原始命题或基底假设，不是生而知之或想当然的，而是大量经验的总结，是大量现象的抽象，是其它真理的依托。

6.1 命题法则之1：谁主张谁举证

公理，作为一种逻辑命题，必须遵循【断后证】法则。想当然的命题，是无法证明的伪命题。作者的命题只能有作者自证清白，不可要求读者证明。换言之：

若一个所谓的“公理”，被认为是无法证实的，它就一定不是科学命题。

无法证实的伪命题，如：上帝造人、男人肋骨造女人、黑洞密度无穷大、宇宙起源是奇点、光传播无介质、钟慢尺缩效应、量子是零维质点、电子同时正反转、电子不可自转、大师千里发功、水变油......

6.2 命题法则之2：偏证≠全证

偏证的定义：凡是以偏概全的、思想实验的、貌似间接证明的、牵强附会的所谓证据，统称偏证。

偏证的危害性：偏证不代表全证，偏证具有诡辩性与欺骗性，偏证很容易被证伪。

思想实验的本质：人们之所以诉诸于思想实验，是因为无法或懒得实锤验证，其实就是想当然，是典型的唯心主义思潮。

间接实验的本质：来自实锤证据的间接实验结论可能是真命题，否则是偏证。

案例1，【宇宙大爆炸】之存疑，源于哈勃定律之偏证：哈勃望远镜接收类星体的电磁波红移，本质上是电磁波的【熵增加红移】，哈勃误用了多普勒【退行性红移】。这是科学史上最严重的偏证事件之一。

案例2，【电子不自转】之存疑，源于学术界误用了【不确定原理】。通常在地表附近环境下的电子结构有超长寿命（10³⁵年）的稳定性，故电子半径(r)与自旋速度(v)，理当是常量，不服从测不准公式，即：

△r·△L=△r·△mvr≥h/4π，得v≥10⁴c，即电子自转速度超1万倍光速，这是滥用公式的偏证事件，不能否定电子自转。

事实上，粒子物理已间接规定，电子光速自旋的固有势能是：Ep=m₀c²=0.511MeV，其对应的电子质量为：m₀=0.511MeV/c²。

6.3 命题法则之3：反证≡证伪

科学界有一个常识与共识：如何一个命题，在其适用范围之内，哪怕只存在一个事实上的反例，即可证明该命题必然是伪命题。

并且，这种反例证伪法简称【反证法】，又称【归谬法】。事实上，反证法是我们判断一个命题可靠性的杀手锏。

案例3，谁信上帝救谁（You trust in God to help you），经不起反例推敲：纳粹屠杀笃信上帝的犹太人，上帝在哪儿？

案例4：牛顿第二定律，可谓物理学的公理之一，有太多的实锤证据可以验证，迄今为止，没有任何一个反例。——如果说，该定律是可证伪的，请问基于该定律的无数科技成就，难道是弄虚作假的么？

7 公理，都是可以证实的

证明公理的难点：如果仿照严密的数学归纳法，我们既不能举证每一个样本，也不能举证未来的样本。

但这并不意味着公理是不可证实的。根据大量的科学研究成果与技术实践成效，笔者认为可采用【枚举证实法+反例证实法】的公理证明法。

案例5：证明“两点直线距离最短”。证明如下：本命题默省的限制条件是在同一平面内。在平面坐标系S(x,y)中，原点坐标S(0,0)，任取两点A(x₁,y₁)与B(x₂,y₂)，欲证AB之间的直线距离最短，可另作辅助线构造三角形，根据【两边之和>第三边】既可以枚举实证，也可归谬实证。

案例6：证明“最近参照系才能保证能量守恒”，以列车（速度v₁）上乘客奔跑（速度v₂）为例。

第一步，枚举证实法

以列车最近的零点参照系，乘客为研究系统，消耗体能为W，转换为奔跑的动能为Ek=½mv₂²，W≡Ek，能量守恒即证。

第二步，归谬证实法

以地面较远的零点参照系，乘客为研究系统，消耗的体能还是W，乘客速度是自身速度与列车速度的叠加，乘客获得的动能为：Ek*=½m(v₁+v₂)²>>W，显然能量不守恒。可见，只有选择最近参照系，才可能保证能量守恒。

综合枚举法与反例法，题设命题是真命题，由于能量守恒堪称物理学公理，而最近参照系是限制条件，也堪称物理学一个公理。

结论：公理的判据

公理不可以用数学归纳法证实，但可用【枚举+反例】考证之。若无反例，则可证实；若有反例，则可证伪。

（完）