为什么要有一个数的平方等于-1?

历史表明,人类接受一种新数的过程是漫长而坎坷的。

正数、负数、有理数、无理数

在欧洲,负数的概念迟至12世纪末,才由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci,约1170—约1250)做出正确的解释。但直到18世纪,欧洲仍有一些学者认为负数是“荒唐、无稽的”。他们振振有词地说,零是“什么也没有”,那么负数,即小于零的数是什么东西呢?难道会有什么东西比“什么也没有”还要小吗?!
无理数的出现,可以追溯到相当久远的年代。大约公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的门人希帕斯发现,等腰直角三角形的斜边与直角边的比不可能表示为既约分数(即几何上的“不可公度”)。
希帕斯的思路说来也简单,他采用了“反证法”,即先假设

能表示为既约分数

(即p,q没有公因子),然后设法推出矛盾。过程如下:

显然,p必须是偶数,否则左式绝不等于右式。现令p=2p′(p′为整数),代入得
这意味着q也必须是偶数,否则右式绝不等于左式。这样,p与q便至少有一个2的公因子,它与

为既约分数的假设矛盾。为什么会出现矛盾呢?原因只能是一个,那就是最初关于

可以表示为既约分数的假设是不对的。

希帕斯的证明引起了毕达哥拉斯学派的恐慌,因为这个学派抱定“两条线段一定可以公度”的教义,他们宁可拒绝真理,也不愿放弃错误的信条,他们容不得希帕斯这样的“异端邪说”。可怜的希帕斯终于被毕达哥拉斯学派的忠实门徒,抛进大海喂了鲨鱼。
人类认识无理数的过程,要比想象的更加漫长和曲折。从希帕斯起至基础理论基本完成止,整整经历了20多个世纪。从“无理数”这3个字的含义,就足以表明人类接受这一概念的艰辛。
正当人们依旧困惑于负数和无理数的时候,又一种披着极为神秘面纱的新数,闯进了数学领地。

平方等于-1的复数i的诞生

1484年,法国数学家N.许凯(N.Chuquet,1445—1500)在一本书中,把方程4+x2=3x的根写为
尽管他一再声明这根是不可能的,但毕竟是第一次形式上出现了负数的平方根。这种情形对于今天的初中学生,依然是一个望而生畏的禁区。
1545年,意大利数学家卡尔达诺在讨论是否有可能将10分为两个部分,而使两者之积等于40时,他指出,尽管这个问题没有实数解,然而,假如把答案写成

这样两个令人诧异的表达式,就能满足题目的要求。他验证说:

虽然卡尔达诺本人怀疑这一运算的合理性,但他终究是第一个认真对待数学领地这一不速之客的勇士。
卡尔达诺之后,数学家们接触这种“虚幻”的数越来越多。大约100年之后,1637年,笛卡儿在他的《几何学》一书中,给负数的平方根起了一个“虚数”的名。

勒内·笛卡儿

又大约过了140年,大数学家欧拉开始用i(imaginary虚幻)表示

1801年,高斯系统地使用了符号i,并把它与实数的混合物a+bi(a、b为实数)称为复数。此后i与复数便渐渐通行于全世界。
起初虚数总给人以一种虚无缥缈的神秘感,因为在数轴上找不到它的位置。富有想象力的英国牛津大学教授约翰·沃利斯(John Wallis),给虚数找到了一个绝妙的解释: 假定某人欠地10亩,即他有-10亩地,而这-10亩地又恰好是个正方形,那么它的边长不就是

了吗?

大胆揭开虚数神秘面纱的,是挪威测量学家韦塞尔(Wessel,1745—1818),他找到了复数的几何表示法。
按韦塞尔的解析,一个复数如4+3i,可以如下图那样表示出来,其中4是水平方向的坐标,3是垂直方向的坐标。实数对应于横轴上的点,纯虚数对应于纵轴上的点。
一个位于横轴上的实数a,当它乘以i时变成位于纵轴上的纯虚数ai。在几何上这相当于绕原点沿逆时针方向旋转90°。
如果把ai再乘i,即又沿逆时针方向转90°,此时理应转回到横轴负向,这一点在下式中表示得更为明显:
有趣的是,一个数乘i,相当于绕原点沿逆时针方向转90°,这一规律,适用于所有的复数。

由于A、B分别对应于复数4+3i和-3+4i,从而∠AOB=90°。

复数在荒岛寻宝上的应用
下面是一则扣人心弦的荒岛寻宝的故事,读完之后读者将会看到,一旦复数在几何上有了立足点,它将是多么有用。
从前,有个年轻人在曾祖父的遗物中偶然发现一张羊皮纸,纸上指明了一座宝藏,羊皮纸内容是这样的:
“乘船到北纬××,西经××,即可找到一座荒岛。岛的北岸有一大片草地。草地上有一棵橡树和一棵松树,还有一座绞架,那是我们过去用来吊死叛变者的。从绞架走到橡树,并记住走了多少步; 到了橡树向右拐个直角再走同样步数,在这里打个桩。然后回到绞架那里,再朝松树走去,同时记住所走的步数; 到了松树向左拐个直角再走这么多步,在那里也打个桩,在两个桩的正中挖掘,就可以得到宝藏。”
年轻人欣喜万分,决心冒险一试,于是急忙租了一条船,载着满腔的希望驶到了荒岛。上岛之后我们年轻的冒险家立时陷入绝望之中。他虽然找到了橡树和松树,但绞架却不见了!长时间的雨淋日晒,绞架已经腐烂成土,一切痕迹都已不复存在。年轻人气恼地在岛上狂掘一阵,然而一切均属徒劳,终于两手空空,扫兴而归。

这是一个令人伤心的故事。因为,如果这个年轻人懂得一点数学,特别是虚数的话,他本来是有可能找到宝藏的!下面我们来帮帮这个可怜的年轻人,尽管此时此刻对于他已经为时太晚。

如上图所示,把荒岛看成一个复数平面,以两棵树所在的直线为实轴。过两树中点O,作与实轴垂直的直线OY为虚轴,而且以两树M、N之间距离的一半为长度单位。这样橡树M和松树N则分别位于实轴的+1与-1点。
假设未知的绞架位置在Z点处,相应的复数为
Z=a+bi
既然绞架在Z点,松树N在-1点,则两者相对的方位便是Z-(-1)=Z+1。把这个数乘以i,就得到桩Z2的复数
同理可得桩Z1的复数(右拐90°相当于乘以-i):
宝藏在两根桩的正中,因此它所在位置的复数T为
这就是说,不管绞架位于何处,宝藏总在虚轴上相应于复数i的那一点。读者若不信,可以自己拿张纸,变换几个绞架的位置,试试看会有什么结果。
荒岛寻宝的故事已经结束,尽管故事中的情节可能是虚构的,但沿着-1平方根建立起来的复数体系,的确帮助人们在数学和其他科学领域中,找到一个又一个的宝藏。
来源:《给孩子的数学故事书》
作者:张远南 张昶
编辑:张润昕

原标题:数学|为什么一定要有一个数的平方等于-1?

来源:原点阅读

(0)

相关推荐