数学难点【勾股定理最短路径问题】,经典例题 答案解析

勾股定理最短路径问题

例题1:如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?

分析:通过图可以发现,是一个点到它相对的另外一个点的情形。先确定长方体的长宽高,分别为5、10、20。

这类问题相对来说比较简单,这样解题本质上还是展开图的三种情形。

2.长方体中爬行,不是到达相对的另外一个点

如果在长方体中爬行,不是到达相对的另外一个点,那就只有通过展开图来解决问题。

例题2:如图,长方体的底面边长为4cm和宽为2cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点,求蚂蚁爬行的最短路径长为多少厘米?

分析:要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短来求解。本题蚂蚁爬行了四个面,那就需要将四个面都展开来进行计算。

3.在圆柱体中爬行半圈或一圈

在圆柱体中爬行,要分两种情况,圆柱的侧面展开图是长方形,可能爬行了长方形的一半,也有可能爬行了整个长方形。

例题3:如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高AB为9cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米?

变式:一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点B,则蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米?

4.正方体表面爬行

蚂蚁在正方体表面爬行时,一般就一种情形,可通过画图解决。

例题4:如图,点A的正方体左侧面的中心,点B是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是多少?

本题点A为正方形的中心,因此到四条边的距离都是边长的一半。

5.圆柱体多圈问题

例题5:为筹备元旦晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图,已知圆筒高108cm,其平行底面的截面周长为36cm,如果在表面缠绕4圈,需要油纸的长度为多少厘米?

分析:将圆柱体沿一条母线展开,可得图形,如下图,只需求出每一圈所需的油纸的长度即可,展开后即转化为求解直角三角形的问题,在Rt△ABC中,AB已知,BC可求,根据勾股定理即可得出AC的长度,由于油纸缠绕4圈,故油纸的总长度为4AC的长度。

6.蚂蚁爬行转化为将军饮马问题

例题6:如图,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是多少厘米?

分析:本将图形展开,利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力。将杯子侧面展开,建立A关于EF的对称点A′,根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求。

本题是由外到内,需要转化为将军饮马问题解决,不是单单蚂蚁爬行问题。

7.蚂蚁在楼梯上爬行

例题7:如图,是一个三级台阶,它的每一级的长,宽,高分别为20 dm,3 dm,2 dm,A和B 是这个台阶两相对的端点,A点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm?

分析:先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答。

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▎编辑:小名老师

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