2019最终数学杯 -中文翻译

初级组

1.在三角形的外接圆上取点,使得在劣弧上在劣弧上,且满足 . 直线与 交于点, 直线 与直线 交于点 .   与 的外接圆再次相交于点. 证明直线过边的中点.

2.已知. 给定多项式 , 其中 为正整数, 且各项系数均为正整数,且满足. 证明系数和 被 整除.

3.求所有素数 ,  使得

4.设 为正整数. 一个  的网格表, 由 个单元格组成. 一直蚱蜢在这个网格表上移动, 并满足如下条件:
a) 对每个单元格, 它只经过其中一条边.
b) 当它通过某个单元格的一条边时, 它会跳到网格表中任意一个它没有经过过的单元格的顶点上.
蚱蜢在网格表上移动,直到以上两个条件都被满足为止.求蚱蜢所能移动的最短的和最长的路径长度,并作图说明.

高级组

1.锐角中, ,为 延长线上一点 .以为圆心,以为半径作圆, 与直线和分别交于点. 的外接圆 与直线 分别再次相交于点. 的外接圆与直线 分别再次相交于点. 证明:共圆,共圆,且这两个圆为同心圆.

2.(与初级组第4题相同)

3.求所有函数 ,使得对任意 all , 均有

4.已知两张纸上分别写有一些正整数. 第一张纸上有个数, 第二张纸上有个数. 若某个数出现在其中一张纸上, 且第一张纸上一定有它与的和, 第二张纸上一定有它与的差. 求 .

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。