三角形（十三） / 四六文摘

全等三角形中还有一类所谓的手拉手模型。

之前讲过套路的作用，事实上，手拉手模型还真的是个不错的套路——因为这种模型的使用条件非常的明确，基本不会出现搞混的情况。

在几何学中，我们把保持图形大小、形状不变的变换称为刚体运动。既然保持图形的大小、形状不变，也就是说一个图形做完刚体运动之后，得到新的图形和原来图形是全等的。

很容易想到的是：镜面对称、平移、旋转这都是常见的刚体运动。而手拉手模型就是基于旋转得到的全等，这种模型的辨识度非常高：一般来说，有共同顶点的若干个正三角形、等腰直角三角形、正方形出现，基本就没跑了。

为什么呢？回忆一下全等的判定方法：SAS，AAS，ASA，SSS四种。而如果以上三种图形出现，SAS必然是跑不了的。

从上图不难看出，等腰直角三角形和正方形之间的紧密联系，因此可以把这两种情况同等对待。

那么像这样的手拉手模型，除了全等以外我们还能得到什么结论呢？其实全等是从静态的角度来看待问题，我们如果从动态的角度来看这个模型，可以看出这两个全等三角形实际上可以看成是一个三角形绕着公共顶点旋转得到的——换句话说，每一组对应边所夹的角度应该都是相等的。

我们可以把小正方形（等腰直角三角形）或小正三角形作一个旋转，你会发现无论到哪个位置，这一对全等是跑不掉的。

我不反对用套路，我只是反对搞不清楚条件就盲目地使用套路。但是像手拉手模型这样有很明确的特征的，就可以比较放心地使用。

我们首先来看一个经典的例子，经典到讲手拉手模型绕不开这个题：

已知△ABC和△CDE都是正三角形，AD交CE于N，交BE于F，BE交AC于M，求证：

第一问当然非常简单，CE=CD，BC=AC，∠ACD=∠BCE=120°，这就证明完了。

事实上，图中还有几对全等三角形，作为练习留给读者。

第二问，事实上正如前面所讲，△EBC和△DAC可以看成由其中一个旋转60°所得到，因此∠AFB必然为60°。不过这样写的话，中考中往往不被认可，所以我们还是需要通过角度的转换来得到。

利用第一问中的结论，我们马上知道∠EBC=∠DAC，而∠AMF和∠BMC是对顶角，因此∠AFM=∠ACB=60°。

第三问，证明两角之和为180°，换句话说我们只要证明∠EMC=∠DNC即可。继续由第一问知，∠MEC=∠ADC，∠ECM=∠ECD=60°，由三角形内角和定理知，∠EMC=∠DNC，证毕。

第四问，接着第三问的结论，我们加上EC=CD，可以证明△EMC全等于△DNC，于是CM=CN，且夹角为60°，所以△CNM是正三角形，∠CNM=60°，由内错角相等可知命题成立。

第五问。。。好吧，已经搂草打兔子证完了。

这个图是手拉手模型中的经典图，事实上一共有三对全等三角形，我们在证明过程中找到了两对，你能把剩下那对找到么？顺便再多说一句，如果B，C，D三点不共线，你能和孩子一起得到哪些结论呢？

三角形（十三）