一次函数中的k和b

这节课讲解一次函数解析式中k和b的含义与用法。

k和b的符号决定着一次函数图象的大致位置，可以帮助我们快速地画出一次函数的草图。其中k的符号决定着图象相对于y轴的倾斜方向，b的符号决定着图象与y轴的哪个半轴相交。

为了让大家彻底弄清楚k和b的用法，本节课将分三个部分进行详细的讲解：一、k的用法；二、b的用法；三、k和b的结合用法。

一、k的用法：

k的符号控制着直线相对y轴向哪个方向倾斜。

1、k＞0时，直线向右倾斜，y随x增大而增大；反过来也成立，即若y随x增大而增大，则直线向右倾斜，此时k＞0。

(1)、什么叫k＞0时，直线向右倾斜？

如下图：

(2)、什么叫y随x的增大而增大？

如图，L是一条向右倾斜的直线，解析式为y＝kx＋b（k＞0），x4＞x3＞x2＞x1。当x的值从x1逐渐增大到x4的过程中，对应的y值从y1逐渐增大到y4。简单地说，就是当k大于0时，若x的值增大了，则根据解析式y＝kx＋b求得的y的值也会随之增大。这就叫y随x的增大而增大。

2、k＜0时，直线向左倾斜，y随x增大而减小；反过来也成立，即若y随x增大而减小，则直线向左倾斜，此时k＜0。如下图：

例1：对于函数y＝5－3x，因为k＝－3＜0，所以y随x增大而减小。与b的符号无关。

例2：已知一次函数y＝(a－4)x＋b，当a、b满足什么条件时？y随x增大而增大。　

解：因为y随x增大而增大，所以x的系数a－4必须大于0，令a－4＞0得：a＞4。与b的值无关。

例3：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)都在直线y＝－4x＋2上，若x1＞x2，比较y1和y2的大小。

解：因为k＝－4＜0，所以y随x的增大而减小，即x的值越大，对应的y的值就越小。故因为x1＞x2，所以y1＜y2。

二、b的用法：

b是直线y＝kx＋b与y轴交点的纵坐标，所以b＞0时，直线与y轴正半轴相交，反过来也成立，即若直线与y轴正半轴相交，则b＞0；b＜0时，直线与y轴负半轴相交，反过来也成立，即若直线与y轴负半轴相交，则b＜0。如下图：

例如：试画出一次函数y＝kx＋5（k≠0）的图象。

因为b＝5，所以一次函数的图象与y轴的交点纵坐标必定为5，也就是肯定过点(0,5)。k的符号未知，所以要分两种情况进行讨论，k＞0时，直线向右倾斜，其图象见下图中的红线；k＜0时，直线向左倾斜，其图象见下图中的绿线。

再如：已知一次函数y＝(a－4)x＋b，当a、b满足什么条件时？图象与y轴的交点在x轴下方。　　　　　　

图象与y轴的交点在x轴下方，意思是一次函数的图象与y轴负半轴相交，这只与常数项b的符号有关，与x的系数k，即a－4无关。但一次函数的k值不能等于0，所以a、b满足的条件为：a≠4且b＜0。

三、k和b的符号结合在一起，决定着直线经过哪些象限。

例如：k＞0且b＞0时，直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限；反过来，若直线y＝kx＋b经过第一、二、三象限，则k＞0且b＞0。如图所示：

再如：k＞0且b＜0时，直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限；反过来，若直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则k＞0且b＜0。如图所示：

例4：已知一次函数y＝(a－4)x＋b，当a、b满足什么条件时？图像过第二、三、四象限。

解：如下图，直线过第二、三、四象限。因为直线向左倾斜，所以a－4＜0，即a＜4；因为直线与y轴负半轴相交，所以b＜0。所以当a＜4且b＜0时，图像过第二、三、四象限。

例5：试写出一个一次函数的解析式，使其图像经过第一、二、四象限，并讨论k、b的符号及x、y之间的增减性。

解：如下图，直线经过第一、二、四象限。这条直线向左倾斜，所以k＜0，y随x增大而减小；直线与y轴正半轴相交，所以b＞0。所以只要满足k＜0且b＞0的解析式都可以，例如：y＝－2x＋1，y＝－3x＋3，等等。

加油！