与相似三角形相关的压轴题(7）

有一些压轴题，其条件中含有许多特殊角。因此本文着重研究在45°特殊角背景下的相似压轴题。在分析的过程中，我们往往可以发现，这些含有45°角的三角形都藏着一些常见的基本图形，借由基本图形分析法，我们可以借助线段之间的比例关系构建数量关系。以2018奉贤与松江的25题为例。

2018奉贤25题题目背景：

📌分析：借助基本图形分析法，我们可以发现图中有1对相似三角形以及三对两两相似的三角形，这对于我们解决第(1)、(2)起着重要的作用。

通过观察图1，由DC=DA，可得∠DAC=45°，由∠DAC=∠CEB=45°，再由公共角相等，可得△ACE∽△CEF；观察图2，由∠CEB=∠CAB=45°，∠EFC=∠AFB，可得△EFC∽△AFB；由△ACE∽△CEF或△EFC∽△AFB，可得△ACE∽△AFB.

除了上述的三对两两相似的三角形外，还可以利用△EFC∽△AFB得到△AEF∽△CFB.本题中除了△ACE∽△CEF与△EFC∽△AFB外，剩余的△ACE∽△AFB及△AEF∽△CFB都是由二次相似得到。

📝具体解法：(1)、(2):对于本题的第2问中相似三角形的对应边的比很有讲究，需要找到的两条对应边都要是具体可求的，不然就无法建立函数关系式。

📝具体解法：(3)的解法1:利用45°构造正方形，利用三角比，借助△ECF∽△AFB，设元解出AB的长.

(3)的解法2:利用45°构造全等三角形，利用三角比，直接求出DE的长.

2018松江25题题目背景：

📌分析：本题的第(1)问根据∠ACD=45°构造A型基本图；第(2)问背景与奉贤卷相似，借助基本图形分析法，我们可以发现图中有三对两两相似的三角形，这对于我们解决第(2)两问起着重要的作用。

📝具体解法：(2)中由∠PAD=∠ACP=∠PCB=45°，可得△ADP∽△CDB和△ADP∽△ACP，再由相似的传递性得△ACP∽△CDB.

🔖方法小结：