周向宇：从复数谈起（上）

图1 周向宇院士

周向宇，中国科学院数学与系统科学研究院研究员，中国科学院院士，发展中国家科学院院士。周院士主要从事多复变与复几何的研究，在多复变领域取得一系列具有国际领先的研究成果，证明了扩充未来光管猜想与Sergeev猜想，与合作者解决了Demailly关于乘子理想层的强开性猜想。曾获国家杰出青年科学基金、求是杰出青年学者奖、陈省身数学奖、国家自然科学奖二等奖、陈嘉庚科学奖。

周院士从复数产生的历史谈起，阐述复数及复变函数的神奇作用，说明“虚数”不虚及数学的“无用之用”，兼及中国古代数学思想。

本文由周向宇院士12月16日于北航沙河校区所作报告整理而成（部分内容），数学经纬网授权发布。

1、复数产生的历史背景

今天的题目是“从复数谈起”，这个题目是模仿我导师陆启铿先生的老师华罗庚先生。华罗庚先生写过很多科普著作，标题是“从……谈起”，比如《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之的圆周率谈起》、《从孙子的“神机妙算”谈起》等。

我们要讨论数学的内容，应该要从历史的分析开始，在考虑数学概念和数学思想时，要注意它的来龙去脉。复变函数有几个关键词: 复数, 变量, 函数。先从复数的引进谈起。

提到复数，自然会想到x^2+1=0，但并不是直接因为这个方程的求根问题而马上引入了复数。引入复数的真正源头是从三次方程的根式求解开始。主要的两位数学家是丰坦纳（Fontana）和卡尔达诺（Cardano）。丰坦纳是这位数学家的姓，但现在很多人叫他Tartaglia（塔尔塔利亚，意为口吃者），因为丰坦纳小时候脸部受伤，之后就留下了后遗症——口吃。丰坦纳不在意这个称呼。数学家卡尔达诺央求丰坦纳得到了关于求解方法的一首隐晦的诗，并于1545年发表在自己的著作《Ars Magna》（大术）中。关于两人的故事可以讲很长，这里不多谈。

图2 卡尔达诺：意大利文艺复兴时期百科全书式的学者

先求解如下三次方程：

习知：

知

接着观察例子：x^3=15x+4，显然x=4是这个方程的根。可当把p=15，q=4代入，平方根号里面是个负数。这个问题给数学家带来了困惑，促使他们来考虑负数的开平方问题，由此开始研究虚数、引入复数。

Tartaglia-Cardano公式解决了三次方程的求根问题，而Bombelli在1572年写就了《代数学》，通过引入复数及其代数运算，解释如何用Tartaglia-Cardano公式得到上述情形的解。因此，我们说复数的发现者是Cardano，复数的引入者是Bombelli。

另外，中国数学家在高次方程的数值求解问题上做出了很大的贡献。隋朝时期有大量的工程，像土木工程、水利工程，这些工程中自然就产生了三次方程。后来，唐朝王孝通撰写《缉古算经》，给出三次方程的数值求解，可以满足实用需求；北宋贾宪发现“增乘开方法”，贾宪三角可以做到一些高次方程的数值解；南宋秦九韶完成《数书九章》，发现“正负开方法”，给出任意高次方程的数值解，此即19世纪的Horner方法。秦九韶还给出了一般的一次同余式组的解法，比高斯早五百五十余年，被称为“中国剩余定理”。

2、虚数的争议

虚数产生之后，在数学界引起了巨大的争议，其中主要分成三派。一派认为虚数是有的，比如沃利斯，他试图用几何方法解释虚数。沃利斯是杰出的数学家，是微积分的先驱者之一。另一派是不承认或反对虚数的，以数学家笛卡尔为代表，他引进了法语imaginaire，认为虚数是想象的、虚构的。其他代表人物有牛顿和引进对数的数学家纳皮尔（Napier）。第三派是莱布尼茨的模棱两可派。莱布尼兹在1702年曾说：复数“犹如存在和不存在的两栖物”。

进入18世纪，棣莫弗在1730年提出了棣莫弗公式

欧拉在1748年提出了欧拉公式

都应用了虚数。欧拉公式是一个非常美妙的公式，它把原来不可能有联系的指数和三角函数通过虚数联系起来了。现在常用的i是欧拉引进的，是单词imaginaire（imaginary）的首字母。虚数开始展现重要作用，最终到高斯奠定了虚数在数学中的地位。“复数”一词就是高斯引入的。自高斯以后，没有再争议虚数到底存不存在。

图3 高斯

3、复数的解释

前面提到复数的产生存在很多争议，那复数在现实中怎么可视化呢？最早发现这个关系是数学家韦塞尔，他从平面上的一个点，给了复数几何和向量的解释，使得复数能用XY平面可视化。后来高斯在1831年也提出这样的平面表示法，阿尔冈稍早也有类似发现。所以现在有的数学家把复数平面叫作阿尔冈图表（Argand diagram），而有的数学家叫高斯平面，我们现在叫复平面。复数有大小和方向，与力、速度、加速度等物理量的特征相符，可直接应用于电气工程，以描述交变正弦电流和电压。复数还和矩阵有个一一对应的关系，这种对应保持了代数运算。

图4

4、复数的结构

复数集有丰富的结构。这个在现代数学里面很重要，它反映了现代数学的结构思想。复数有代数结构，如群、环、域、线性空间的结构。加减乘除和实数域一样，有交换律，结合律，分配律。不同的地方是，复数可以进行开方运算，这是比较重要的。后来逐渐发展出了四元数、八元数等等。但是四元数的乘法不再有交换律；八元数更是连结合律都没有了。

实数域有一个重要的结构：序结构，可以比较大小。对于复数，虽然你可以给它一个序，但是这个序一定不会和代数结构相容，就是与域结构不相容。所谓与域结构相容（即有序域）就是说，对于序a＜b，两边都乘以一个正数，仍然保持这个序。实数域是有序域。而对于i，如果i大于0，两边都乘上i，就得到i的平方大于0，i的平方显然是-1，-1大于0，矛盾；同样如果i＜0，两边都乘上-i，也可以推出矛盾。所以复数上的序不可能和域结构相容，即复数域不是有序域。

复数域与实数域维数也不同，一个是1维，一个是2维。对于实轴，就像一个人走直线，在前面挖了一个点，没法绕过去。如果是在平面走，你可以绕过去。还有复数具有共轭结构。复数集有丰富的代数、几何、拓扑、分析结构以及复合结构，是最基本、最简单的具有复合结构的复流形及复李群，后者是现代数学的基本研究对象。

5、复数的奇妙

复数有很多奇妙的用处。高斯引进复整数来解决二平方和问题：哪些正整数可以表示成两个整数的平方和，有多少表示方法？因为一个整数写成a^2+b^2，那就等于a+bi乘上a-bi，所以他引进复整数，然后他证明这种数跟整数有类似的性质：任何一个自然数都可以分解成素数的乘积。利用这样一个基本的虚数关系就把二平方和问题完全解决了。

库默尔引入分圆域（有理数域添加单位根这样的虚数而生成的数域）研究费马大定理，是代数数论的一个源头。上世纪90年代解决费马大定理，要用到模形式、椭圆曲线，这也是离不开复数的。这个猜想看上去是和复数一点关系也没有，但到最后解决它离不开复数。

图5 陈省身

陈省身先生说过，复数的引进是数学史上的一件大事情。第一届菲尔兹奖获得者阿尔福斯也说，对函数做圆满的分析，通常需要考虑它们在复数域上的性质，因为复数域是一个代数闭域。阿达玛说，实数域中两个真理之间最短的路径是通过复数域。3次方程求根在实数域上求不出，绕到虚数上自然就能求出。这是一个很重要的思想。