点点滴滴之椭圆性质（三）

已知椭圆 直线 与椭圆 交于 A、  不同两点，线段 AB 的中点为 P，直线OP 的斜率为 O为坐标原点，则 k ・ 为常数.如图一：

图一

证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）因为点P为AB的中点，

由此结论我们看2013年高考北京卷（理）

已知A B C 是椭圆 上的三个点, 0 是坐标原点.

（I）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 0ABC 为菱形时, 求此菱形的面积

(II)当点 B 不是 W 的顶点时, 判断四边形 0ABC 是否可能为菱形, 并说明理由.

显然四边形 0ABC 不可能为菱形，因为若四边形 0ABC 为菱形，则

而由上述结论 所以四边形 不可能为菱形.

由此可以得到如下两个结论:

（1）若一组平行线l、l₁、l₂、┄,与椭圆分别交于A、B；A₁、B₁；A₂、B₂；┄，若线段AB、A₁B₁、A₂B₂、┄的中点分别为P、P₁、P₂、┄，则点O、P、P₁、P₂、┄共线，图二：

图二

特殊的一组平行线m₁、m₁、l、l₁、l₂、┄,其中m₁、m₁与椭圆分别相切于M₁、M₂，l、l₁、l₂、┄，与椭圆分别交于A、B；A₁、B₁；A₂、B₂；┄，若线段AB、A₁B₁、A₂B₂、┄的中点分别为P、P₁、P₂、┄，则点M₁、M₂、O、P、P₁、P₂、┄共线，图三：

图三

(2) 已知椭圆 为椭圆 的左右焦点，直线 与椭圆 M 交于 A、B 不同两点，线段 AB 的中点为P，直线 FiP、F2P 的斜率分别为 则 为常数，如图四：

图四

特殊的若椭圆 与直线 相切于点 直线 的斜率分别为 则 为常数.如图五：

图五

结论(1)显然成立，下面证明结论（2）,先看如下规律：

如图六，点 A、B 为x轴上任意两点，M 为线段 AB 的中点，P为x轴外任意一点，当直线 PA、PB、PM 的斜率 kpA、 kpB、kpM都存在时，.如图七，点 A、B 为y轴上任意两点，M 为线段 AB 的中点，P为y轴外任意一点，当直线 PAPB、PM 的斜率kpA、 kpB、kpM都不为 0 时

图六                                                                  图七