（π的另一个公式）欧拉成名作：无穷级数求和的大胆探索

一提到欧拉，我们就想到欧拉公式。

但事实上，早在欧拉公式之前，他就已经声名远播了。而他的成名作，也是非常开人脑洞。

1734年，欧拉用很巧妙，但当时看来不是很严谨的方法，计算出了这个无穷级数的正确结果：

那一年他27岁。

次年，欧拉将结论发表，名声大噪。因为这个问题并不是那么简单，就连前辈牛顿和莱布尼茨都没搞出来。

欧拉的思路

首先，当时人们已知：

这是sinx在x=0处的泰勒级数，或称为sinx的麦克劳林级数，这也是微分学的重要应用。

然后，当x≠0时，两边除以x，得到：

显然，当x = ±nπ(n≠0 )时，sin x = 0.

因此，x = ±nπ正好是下述方程的根：

①

这个方程左边是一个无穷阶多项式，换句话说就是“一元无穷次”方程。

但是，欧拉厉害了，他大胆地将有限次方程的规律应用到这里。

简单地说就是，既然x = ±nπ是它的根，那么，按道理说，它就可以分解为如下的形式：

②

这就好比，x²-1 = 0的根是1和-1，那么，它就可以分解为：

(x-1)(x+1)=0

事实上，随着数学的发展，后来被证明，按②式这么分解确实是可行的，但是，在当时，这么做的正确性并不显然。

好，不管怎样，总比没思路好，我们继续，将②式相邻的两项相乘，得到：

③

显然，③式又有无穷项，但我们可以搜出其中的所有x²项，得到：

④

而根据①式，方程左边的所有x²的系数是已知的，就是：

因此，这两个参数应该是相等的，得到：

提出π²，得到：

证毕。

我们发现，这个证明过程体现出了欧拉的敏锐直觉和大胆的探索，当然，这也给了我们一些启发，就是：

有些事刚开始，不要过于纠缠于细节或所谓的完美，而是先“搞起来”再说，等有了一些经历，我们再来看看，也许我们就有了不同的理解和意想不到的收获。

事实上，七年后，欧拉用了新的方法，严格地证明了这个结果。

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