八年级数学：勾股定理-高难度题

这道题的确有些难度，如果放在老师以前上学的时候，老师自认是解不出来的。我们先来看看题目，

如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长；

这道题本是一道填空题，但是根据题号可知其是填空题最后一道，算是考试中填空题当中最难的一道吧。

那么我们看这道题，AD、CD是已知线段，然后可以知道△ABC是等腰直角，然后就只有一个∠ADC=45°了，要求出BD的长度，而BD又和AD、CD扯不上关系，所以很明显是要添加辅助线的。

重点来了，如何添加辅助线才能行得通？

如果大家经常看前面老师推送的内容，就会知道老师提起过一个知识点，在出现等腰直角三角形和等边三角形等比较特殊的图形时，会很容易出现旋转全等。那么这道题中有一个等腰直角三角形，我们不妨去进行旋转试试看。

如图，我们将△ADB绕点A进行顺时针旋转90°，使AB转到AC，点D到点E处，连接DE。

根据旋转可以很容易证明△EAC≌△DAB，所以CE=BD，只需要得到CE的长度即可；

那么我们接着看，∠DAE=90°，这个条件很容易看出，毕竟是旋转了90°，而AD=AE，∴∠ADE=45°，

又因为∠ADC=45°，

∴∠CDE=90°，

这下有直角三角形存在了，那么可以利用勾股定理了，

根据已知线段AD，可以求出DE的长度，

然后再利用勾股定理求出CE的长度，

随后BD=CE即可；

到这里这道题就解决了，构图方法与以前推送的那道高难度勾股定理有些类似，都是需要构造出一个三角形出来，而不是简简单单地连一下辅助线。

所以这道题同学们可以学到：等腰直角三角形存在的情况下，如果有一个腰是其他三角形的一条边，就有可能会需要三角形的全等，而可以全等的三角形很大可能就是另一个腰所在的三角形，因此要能想到绕点旋转的方法。