【芝诺悖论】：阿喀琉斯能追上乌龟吗？
说起悖论，最著名的还属芝诺悖论。（本文中的“阿喀琉斯”与“阿基里斯”指的是同一个人，翻译不同而已，是古希腊神话中那个刀枪blue的真男人，弱点在其脚踝，在特洛伊战争中大显身手，有兴趣的朋友可以在公号里搜索“阿喀琉斯”）
芝诺是古希腊哲人巴门尼德的学生兼朋友，他在老师的基础上，一共推导出了40个悖论，可惜由于著作失传，流传至今的只有8个，其中4个关于运动的悖论最著名：阿喀琉斯的乌龟、二分法悖论，飞矢不动悖论和运动场悖论。
之前在【光荣希腊】系列篇章中，曾经讲述过芝诺的悖论和他的一些哲学思想，当时主要是驳斥了他的二分法悖论。有关二分法悖论，简单来讲是这样的：假设，我要跑到前方100米处的A点，那么我要到A点，就必须先到达之间的一半，也就是50米处的B点，要到B点，就要先到25米处的C点，要到C点，就要先到12.5米处的D点……以此类推，当我要到达A点之前，有无数个一半的点需要我到达。而无数是什么？就是一辈子也数不完，因此由此得知，我到不了A点。
芝诺认为，运动是不可能的。但这个结论要成立，首先，其前提就要是真的，也就是芝诺认为，时间与空间都是可以无限细分下去的。当时，我用“量子力学”中“能量是一份一份的”来驳斥了这个悖论。因为在这个宇宙中，时间与空间都不是无限可分的，时间有一个最小单位，即普朗克时间，因此，芝诺二分法悖论中的前提就已经错了，得出来的结论也是错的。
上次是从物理学的角度驳斥了芝诺，后来我想了一下，芝诺若是还活着，他肯定不服气，因为，谁跟你说量子力学就一定对了？就算是目前很多理论都基于量子力学，但这也可能只是巧合。再者，休谟可能也会支持芝诺，因为这个世界上，物理只是一门经验科学，比如能量守恒定律，其实并没有什么决定性的证据可以支持，我们只是通过实验一次又一次证明了这个理论，但这并不能说明这个理论就是永远正确的。
没关系，这一次我打算从数学上直接驳斥芝诺，这一次我们让他输得心服口服。
这一次我们以“阿喀琉斯的乌龟”为例。简单来讲，这个乌龟是这么说的：假设，一只乌龟在我前面100米处的A点；当我追到A点的时候，乌龟也向前运动了一定的距离，到达了B点；当我到达B点的时候，乌龟又跑到了C点……也就是说，在我与乌龟之间，有无数个点是由乌龟先到达，而后我再到达的。既然是无数个点，那么自然我就无法追上乌龟。
如果我们从前提出发，认为时间与空间并不是可以无限可分的，那么这个悖论也就不攻自破了。但这样就没意思了，我们要让芝诺输得心服口服，就只能从逻辑上直接驳斥。
当我追乌龟的时候，我与它的距离逐渐递减，逐步递减的距离同时意味着逐步递减的时间间隔，因此无穷多个步骤并不等于无限长的时间。事实上，所有步骤加总起来得到的时间是有限的，也就是人追上乌龟所耗的时间！
这里要引入数学中的几何级数，比如下面这个级数：
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 ……
这是一个无穷级数，但它是收敛的。这也就是说，所有看似无穷无尽的级数加起来，最终的结果并不是无限大，而是有一个极限，也就是2。
在乌龟的悖论中，我们应当考虑每阶段我与乌龟之间逐渐递减的距离，而非两者的个别位置。由于我与乌龟各自以不同的等速率前进，两者之间的距离也以等速逐渐减少。
比如，假若我让乌龟领先100米起跑，之后以每秒钟10米的速率接近乌龟，依照芝诺的讲法结果会如何呢？嗯，5秒后两者之间的距离将会减半，再过两秒半之后再减半，再过一又四分之一秒之后再减半，如此继续下去。如果愿意的话，我们可以将这些逐步递减的时间间隔里逐步递减的跑步距离累加起来，但是并不会改变如下的事实：如果我以每秒10米的速度赶上乌龟，那么我会在10秒钟之后超过乌龟，并对它放一个屁，这正是我将两者之间原本100米的距离削减至零所需的时间。而这10秒正是无穷级数的总合：5秒＋2.5秒＋1.25秒＋0.625秒＋……累加起来，直到下一个累加的分数小到让我们愿意停下来为止（此时总和等于9.9999……秒）。10秒钟之后，乌龟理所当然只能看着我绝尘而去。
芝诺的乌龟之所以是一个悖论，主要是觉得这是一个悖论的人，还没有无穷级数收敛的概念，甚至连“无穷大”的概念都尚不明确。比芝诺晚出生100年的亚里士多德之所以觉得这个悖论是一个悖论，只是因为他和当时的人都还没有微积分的概念，以及无人知晓以下这个基本的物理学公式：速率等于距离除以时间。
目前学术界的主流看法是，微积分诞生于牛顿生活的17世纪，由牛顿与莱布尼茨共同创造了微积分，但是在一开始，微积分并不完善，其理论的大厦还不坚固，这被当时的另一位哲学家贝克莱发现并提了出来，这也就是数学史上的第二次危机。
这个问题就是，无穷小究竟是多小，有一个确定的数值吗？
微积分是以导数为基础的，而无穷小又是导数的逻辑前提和基础，如果我们不把这个无穷小的概念给搞明白，那么整个微积分都还不能算是完整的，甚至，整个微积分大厦都可能会崩塌。
到了19世纪的时候，两位数学家，法国数学家奥古斯丁·路易斯·柯西定义了极限，另一个德国数学家卡尔·特奥多尔·威廉·魏尔施特拉斯用数学的语言将其描述清楚了。
简单来讲，极限就是一种无限逼近，却永远也抵达不了的一个状态。无穷小与无穷大，也不是一个确定的、静止的值，而是一个动态的，无限逼近的状态。所以，以后千万不要再问出“无穷小究竟是多小”这类问题，在数学上，无穷小是一个无限逼近的过程。
“数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而被人为规定为“永远靠近而不停止”。另外，极限是一种“变化状态”的描述。”