八下第2讲 矩形菱形正方形典题汇总

● 写在前面

转眼间，因新冠肺炎疫情而延期开学已经两周，不知道八年级的同学们，过去一周的学习，你收获如何呢?本讲，我们就对第2周内容做个复习归纳吧．

知识梳理

1、矩形

定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．

矩形是轴对称图形，一共有2条对称轴，对边中点连线所在直线．

2、矩形的性质

(1)矩形的四个角都是直角．

(2)矩形的对角线相等．

3、矩形的判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(2)对角线相等的平行四边形是矩形．

(3)有三个角是直角的四边形是矩形．

4、两条平行线之间的距离

定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离．

性质：两条平行线之间的距离处处相等．

5、菱形

定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．

菱形是轴对称图形，一共有2条对称轴，对角线所在直线．

6、菱形的性质

(1)菱形的四条边都相等．

(2)菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角(补充结论，仅填空选择用) ．

(3)菱形的面积公式：对角线乘积的一半．

7、菱形的判定

(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(3)四条边都相等的四边形是菱形．

8、正方形

定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．

正方形是轴对称图形，一共有4条对称轴，对边中点连线所在直线与对角线所在直线．

9、正方形的性质

(1)四条边都相等，四个角都是直角．

(2)对角线相等且垂直，每一条对角线平分一组对角．

10、正方形的判定

(1)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

(2)有一个角是直角的菱形是正方形．

(3)对角线相等的菱形是正方形．

(4)有一组邻边相等的矩形是正方形．

(5)对角线垂直的矩形是正方形．

(二)典例剖析

例1： 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F(点E不与点A、B重合)． (1)求证：四边形EHFG是平行四边形； (2)若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长． 分析： (1)由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形； (2)连接CE，由题意可得，EF垂直平分AC，则AE＝CE，由勾股定理列方程，可求AE的长． 解答：

例2： 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线PE与PF的距离之和为________． 分析： 首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA＝OD＝5，及△AOD的面积，然后由等积法，可求得高之和． 解答：

例3： 矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝_________． 分析： 看到中点，你能想到什么？中线？中位线？显然，这里不能直接求GH的长，但我们看到中点，可以采用“倍长中线”的方法，构造全等啊．有同学说，这里没有三角形啊，那连接了AG，GH不就是△AGF的中线了嘛．这样，可以求出GH长的两倍，再除以2即可． 当然，本题也可直接上解析法，以点B为原点，表示出各点的坐标，求出点G，点H的坐标，用距离公式解决． 解答：

例4： 如图，平行四边形ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，且∠BED＝90°，试说明：四边形ABCD是矩形． 分析： 本题中，∠AEC和∠BED都为90°，则含有两个直角三角形，由于O为AC，BD中点，AC，BD为斜边，想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半，则连接OE，从而可推出AC＝BD，问题得证． 解答：

例5： 如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M、N分别是AB、BC边上的中点，则MP＋NP的最小值是______． 分析： 先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP＋NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP＋NP＝M′N＝AB＝1． 解答：

例6： 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过A作BD的平行线，交CE的延长线与点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF．若AF＝8，CF＝6，则四边形BDFG的周长为多少? 分析： 首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD＝FD，则可判断四边形BGFD是菱形，求出BD的长，菱形的周长即可求． 解答：

例7： 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝1.5． (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)求线段EF的长． 分析： (1)根据菱形的性质得到CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，求得CF＝AE＝4－1.5＝2.5，根据勾股定理求得AF＝CE＝2.5，结论得证； (2)过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH＝DF＝1.5，FH＝AD＝2，根据勾股定理即可得到结论． 解答：

例8： 如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D. (1)求证：BE＝CF； (2)当四边形ACDE为菱形时，求BD的长． 分析： (1)先由旋转的性质得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，则∠EAF＋∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，利用AB＝AC可得AE＝AF，可证△AEB≌△AFC，结论得证． (2)由菱形的性质得到DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB＝∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE＝∠BAC＝45°，所以∠AEB＝∠ABE＝45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，于是利用BD＝BE－DE＝BE－AC求解． 解答：

例9： 如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____． 分析： 根据正方形的四条边都相等可得，AB＝AD，每一个角都是直角，可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF，得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GH为BF的一半，利用勾股定理求出BF的长，即可得出GH长． 解答：

例10： 如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF．求证：AP＝EF． 分析： 首先连接AC，PC，由四边形ABCD是正方形，可得BD垂直平分AC，即可证得AP＝PC，又由PE⊥BC，PF⊥CD，证得四边形PECF是矩形，可判定EF＝PC，继而证得结论． 解答：