几何最值问题中最难:"胡不归""阿氏圆",这些经典题型必须掌握! / 四六文摘

这个问题有一个历史故事，说的是一个身处他乡的小伙子得到父亲病重的消息，便连夜赶回家，当他赶到他父亲床前时，他的父亲已经咽气.人们告诉他，在弥留之谜，老人在不为念叨“胡不归？胡不归？"

这跟数学有关吗？表面上看确实完全没有关系.当然，数学家帮助这个小伙设计了一条回家的路线，可以很好地缩短在路上的时间，说不定还可能见到他父亲最后一面.

A是出发地，B是目的地，AC是驿道，AC上侧是沙地.为了急切的回家，小伙子选择了AB这条路.但是他忽视了沙地会走得更慢这一因素，比走A-C-B或者比A-D-B路径所花的时间更长，即使AB的长度更短.

怎么办呢？设驿道上的速度为V1,沙地的速度为V2,驿道上的速度是沙地上速度的2倍，如何选择才能使行进的时间最小呢？

AD一半如何转化呢？联想起含30度的直角三角形的性质，30度角所对的直角边是斜边的一半，于是借助30度角来进行有效的转化.

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很明显的当A、D、E三点共线时，可取最小值，这样问题就可以顺利解决了.

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我们来举两个典型的例子

问题1:

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问题2

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首先，我们来看两个实际的问题！

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如何来解答呢？

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如果将这类问题进行归纳总结，把线段前面的系数进行相应的变化，那还能找到相应的点吗有没有什么方法是通用的呢？那我们就需要学习阿氏圆了.

什么是阿氏圆呢？其实它的确有一个严格的定义，它是由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，后人以此命名.

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那阿氏圆与此题有什么关系呢？其实关系大着呢.

我们发现这类问题总是PA+xPB这种形式，例如PA+1/2PB,x会发生相应的变化，而x通常就是你要在某条线段上找一个点，使这个点刚好可以将xPB转化为一条线段，进面后续才能用三点共线求线段和差最值.基本上，这类题就是这种思路.

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几何最值问题中最难:"胡不归""阿氏圆",这些经典题型必须掌握!