深度学习入门（7）
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“人世间，很多事情虽然已经做过了，却不为人知，但那又如何，重要的是，我已做过，并从中获得了很多。”
多层感知机网络遇到的大问题
第六讲中提到的多层前馈网络，有时也被称为多层感知机（MLP）。但是这个提法导致概念多少有些混淆，因为，在多层前馈网络中，神经元的内部构造已经悄然发生了变化，即激活函数从简单粗暴的“阶跃函数”变成了比较平滑的挤压函数Sigmoid。
为什么要换成这个激活函数呢？原因并不复杂，这是因为感知机的激活函数是阶跃函数，不利于求导，今儿求损失函数的最小值。当分类对象是线性可分，且学习率η足够小时，感知机还堪胜任，其构建的网络，还可以训练达到收敛。但分类对象不是线性可分时，感知机就无法胜任了。因此，通常感知机并不能推广到一般前馈网络中。
按照我们前面章节的说法，所谓的机器学习，简单来说，就是找到一个好用的函数，从而较好地实现某个特定的功能。一言蔽之，函数就是功能。对于某个特定的前馈神经网络，给定网络参数（连接权值和阈值），其实就是定义了一个具备数据采集（输入层）、加工处理（隐含层），然后是输出结果（输出层）的函数。
如果仅仅给定一个网络结构，其实它定义的是一个函数集合，因为不同的网络参数（连接权值与阈值），实现的功能“大相径庭”。功能不同，自然函数也是不同的。
针对前馈神经网络，我们需要实现的目的很简单，就是想让损失函数达到最小值，因为只有这样，实际输出和预期输出的差值才最小。那么，如何从众多的网络参数（神经元之间的连接）中选择最佳的参数呢？
最简单粗暴的方法，当然就是枚举所有可能值。
但是这种暴力策略，对稍微复杂一点的网络就不可取的，例如，用于语音识别的神经网络，假设网络结构有7层，每一层有1000个神经元，那么仅一层之间的全连接权值，就达到1000*1000=1000000个，一旦层次多了，那权值数量就太多了。
到底什么是梯度？
为了克服多层感知机存在的问题，人们设计了一种名为delta法则的启发式方法，该方法可以让目标收敛到最佳解的近似值。
该法则的思想在于，使用梯度下降的方法找极值。具体来说，就是在假设空间中搜索可能的权值向量，并以“最佳”的姿态，来拟合训练集合中的样本。那么，何为最佳拟合呢？当然就是让损失函数达到最小值！
我们知道，求某个函数的极值，难免用到“导数”的概念。什么是导数呢？导数就是用来分析函数“变化率”的一种度量。针对函数中某个特定点x0，该点的导数就是x0点的“瞬间斜率”，也即切线斜率，见公式：
如果这个斜率越大，就表明其上升的趋势越强劲。当这个斜率为0时，就达到了这个函数的极值点，而前文提到的损失函数，如果要达到损失最小，就难免用到导数“反向指导”如何快速抵达最小值。
在单变量的实值函数中，梯度就可以简单地理解为只是导数，或者说对于一个线性函数而言，梯度就是线的斜率。但对于多变量的函数，它的梯度概念就不那么容易理解了。
在向量微分中，标量场的梯度其实是一个向量场。对于特定函数的某个特定点，它的梯度就表示从该点出发，该函数值增长最为迅猛的方向。假设一个标量函数f的梯度记为：f或gradf，这里的表示向量微分算子，那么，在一个三维直角坐标系，该函数的梯度就可以表示为公式：
求这个梯度值，难免用到“偏导”的概念。说到“偏导”，这里顺便提一下国内的翻译，其英文是“partial derivatives（局部导数）”，书本上常翻译为“偏导”，可能会把读者的思路引导“偏”。
什么是“局部导数”呢？对于多维变量函数而言，当求某个变量的导数（相比于全部变量，这里只求一个变量，即为“局部”），就是把其他变量视为常量，然后整个函数求其导数。之后，整个过程对每个变量都“临幸”一遍，放在向量场中，就得到了这个函数的梯度了。举例来说，对于三变量的函数f = x^2 3xy y^2 z^3。它的梯度可以这样求得：
这时，梯度可以理解为，站在向量点A(1,2,3)，如果想让函数f的值增长得最快，那么它的下一个前进的方向，就是朝着向量B(8,7,27)方向进发。很显然，梯度最明显的应用，就是快速找到多维变量函数的极(大/小)值。
在这里需要说明的是，我们用“局部函数”的翻译，仅仅用来加深对“偏导”的理解。
到底什么是梯度下降？
下面我们说说，在求损失函数的极小值的过程中，常常提到的“梯度递减”的概念。
如果把登山过程中求某点的斜率称为“梯度（gradient）”，而找谷底的方法，就可以把它称之为“梯度递减（gradient descent）”。
“梯度递减”体现出来的指导意义，就是“机器学习”中的“学习”的内涵。“学习”的本质，在于性能的提升，利用“梯度递减”的方法，的确在很大程度上，提升了机器的性能，所以，它就是“学习”。
重温神经网络的损失函数
针对前馈神经网络的设计，输入和输出层设计比较直观。
针对前馈神经网络的设计，输入和输出层设计比较直观。比如说，假如我们尝试判断一张手写数字图片上面是否写着数字“2”。很自然地，我们可以把图片像素的灰度值作为网络的输入。如果图片的维度是16×16，那么我们输入层神经元就可以设计为256个（也就是说，输入层是一个包括256个灰度值向量），每个神经元接受的输入值，就是规格化的灰度值。
而输出层的设计也很简单，就是需要包含10神经元，输出是数字“0~9”的分类概率（也就是说，输出层是一个包括10个概率值的向量）。择其大者而判之，如图7-7所示，如果判定为“2”的概率（比如说80%）远远大于其他数字，那么整个神经网络的最终判定，就是手写图片中的数字是“2”，而非其它数字。
相比于神经网络输入、输出层设计的简单直观，它的隐含层设计，可就没有那么简单了。说好听点，它是一门艺术，依赖于“工匠”的打磨。说不好听点，它就是一个体力活，需要不断地“试错”。
但通过不断地“折腾”，研究人员还真是掌握了一些针对隐层的启发式设计规则（如下文即将提到的BP算法），以此降低训练网络所花的开销，并尽量提升网络的性能。
那么，怎样才算是提升神经网络的性能呢？这就要用到我们前面提到的损失函数了。在第六章我们提到，所谓“损失函数”，就是一个刻画实际输出值和期望值之间“落差”的函数。
为了达到理想状态，我们当然希望这种“落差”最小，也就是说，我们希望快速配置好网络参数，从而让这个损失函数达到极小值，神经网络的性能接近最优。
关于求损失函数极小值，给出一个通俗易懂的例子，对于识别手写数字的神经网络，训练数据都是一些“0，1，2，...，9”等数字图像。
由于人们手写数字的风格不同，图像的残缺程度不同，输出的结果又是并不能是“十全十美”，于是我们就用损失函数来衡量二者的误差，前面我们提到，常用的损失函数是：
机器学习的任务，很大程度上，找一个模型，拟合或者说“适配”给定的训练数据，然后再用这个模型预测新数据。这个模型的表现形式，具体来说，就是设计一个好用的函数，用以揭示这些训练样本随着自身变量的变化关系。揭示拟合好坏的程度，就要用到损失函数。“损失”越小，说明拟合的效果越好。
在我们训练神经网络时，损失函数说白了，就是有关“权值参数”的函数。为了求损失函数的极小值，就不可避免地需要计算损失函数中的每一个权值参数的偏导数，这时前文中提到的“梯度递减”的方法就派上用场了。训练线性单元的梯度递减算法如上图所示，图中的参数η就是“学习率”，它决定了梯度递减搜索的步长，这个步长“过犹不及”。如果值太小，则收敛慢，如果值太大，则容易越过极值，导致网络震荡，难以收敛。
上图仅给出一个权值变量wi的梯度示意图，而实际上，神经网络的参数是非常多的，因此针对损失函数L的权值向量的梯度可以记作：
在这里，梯度本身就是一个向量，它的多个维度分别由损失函数L对多个权值参数wi求偏导所得。当梯度被解释为权值空间的一个向量时，它就确定了L对陡峭上升的方向。
如果需要根据公式来更新权值，我们需要一个更加实用的方法，在每一步重复计算。幸运的是，这个过程并不复杂，通过简易的数学推导，我们可以得到每个权值分量wi更简明的计算公式：
其中，xid表示训练集合的第d个样例的输入分量xi，yd表示第d样例的期望输出值，yd'表示第d样例的实际输出值，这二者差值就是“损失”，也称为误差。有了公式做支撑，算法就可行之有“章法”了。
对于前文所言，对于特定训练集合，第d个样本的预期输出yd和实际输出yd'，都是“尘埃落定”的常数，对于求权值分量wi的偏导（部分导数）来说，除了作为变量的系数可以保留之外，其他统统都可以看作“浮云”。此外，注意到：
因此，可以进一步将公式化简：
有了该公式做支撑，梯度下降的权值更新法则可以用如下公式表示：
有了前面的知识铺垫，我们终于可以在下一章谈谈误差反向传播（BP）算法了。
小结
在本章中，我们主要讲解了梯度的概念，所谓梯度，就是该函数增长最迅猛的方向，然后我们介绍了梯度下降法则。
在下一章中，我们将用最通俗易懂的方式，详细解释误差反向传播算法。深度学习之所以性能奇佳，不仅仅因为它有一个“无监督”的逐层预训练，除此之外，预训练之后的“微调”，还是需要“有监督”的BP算法作为支撑。
深度学习离不开“BP”算法。