14. 圆 的各种定义

摘自《解析几何高观点、新视野》

一、圆的距离定义

（一）第一定义：到定点等于定长点的轨迹

例 1.若与点 A (2, 2) 的距离为 1 且与点 B ( m , 0) 的距离为 3 的直线恰有两条，则实数 m 的取值范围为__________．

【解析】与定点 A 距离为 1 的点的轨迹为圆，所以与点 A (2, 2) 的距离为 1 的直线为圆的切线，同理与点 B ( m , 0) 的距离为 3 的直线也为以 B 为圆心，3 为半径的圆的切线，故同时满足两个条件的直线应该使两圆的公切线，公切线恰有 2 条，意味着两圆相交，即

二、圆的张角定义

（一）第四定义：到两定点张角为 90°

变式 2：如图，直角三角形 ABC 中，角 C 为直角,AC=4,AB=5,在线段 AC 上有一动点 P，以 PC 为直径作圆交 PB 于点 Q,连结 AQ，则 AQ 的最小值为________．

这是一道“变化引起变化”的典型问题，点 P 的变化引起了点 Q 的变化，从而使得 AQ 的长度在变化.解决问题的关键，就是要找到点 Q 的变化规律（也就是不变的东西），从而确定何时 AQ 的长度最小.

与点 Q 关系密切的点有三个：C、P、B,可以发现 CQ 与 PQ 垂直，则 CQ 与 BC 垂直！隐藏的圆出现了，显然点 Q 在以 BC 为直径的圆上.

（三）第六定义：对角互补

三、圆中弦中点的轨迹

命题 1：（1）过圆外一定点 P 作圆 O 的动弦，弦中点的轨迹是以 OP 为直径的圆位于圆 O 内部的一段圆弧。

（2）过圆内一定点 P 作圆 O 的动弦，弦中点的轨迹是以 OP 为直径的圆。

（3）定点 P 与半径为 R 的圆 O 上一动点连线的中点的轨迹是以 OP 中点为圆心，

为半径的圆。（相关点法可以证明。）

命题 2：圆内一动弦与圆内一定点张角为 90°，则动弦中点的轨迹为圆。

四、代数中其他的圆

（一）三角函数