极值点偏移问题的解法探究
师眸峰 赵 露 陈羽汛
(江苏省扬州大学数学科学学院数学1805班，225002)
函数的极值问题一直是高考的热点内容.纵观近年高考题,除了以实际问题为背景的极值问题,还会出现一些极值点偏移问题.求解此类问题有一定的难度,有利于培养学生分析和解决问题的能力,促成学生数学学科核心素养的养成.本文结合例题探究极值点偏移问题的解法.
一、明本质,理解极值点偏移的概念
设f(x)在区间(a,b)只有一个极值点x0,f(x)=c的解分别为x1,x2,且a<x1<x2<b.若
则称f(x)在(a,b)内极值点不偏移；若
则称f(x)在(a,b)内极值点向左偏移；若
则称f(x)在(a,b)内极值点向右偏移.
极值点偏移问题理论上仍属于研究函数的性质.此类问题产生的本质在于极值点x0左、右的函数的变化速度不同,从而导致函数图象出现左、右两边不对称的情况.
二、晓通法,了解极值点偏移问题的几种常用求解途径
1. 构造差函数法
设f(x)在区间(a,b)只有一个极值点x0,且f(x1)=f(x2),a<x1<x2<b.若要证x1+x2>2x0,即x1>2x0-x2,利用函数f(x)的单调性，只要证f(x1)>f(2x0-x2)或f(x1)<f(2x0-x2).
我们称这种处理问题的方法为构造差函数法，具体过程可分为:第一步,求f(x)的极值点x0;第二步，构造差函数F(x)=f(x)-f(2x0-x);第三步，考察F(x)的单调性，判断F(x)与0的大小关系，即f(x1)与f(2x0-x2)的大小关系；第四步，由f(x1)与f(2x0-x2)的的大小关系及f(x)的单调性，得出结论.
例1 已知函数f(x)=xe-x(x∈R)，若x1≠x2,且f(x1)=f(x2)，求证：x1+x2>2.
解 由f ′(x)=(1-x)e-x,可知f(x)在(-∞,1)单调增,在(1,+∞)单调减, f(x)在x=1处取得极大值.
令F(x)=f(x)-f(2-x)=xe-x-(2-x)ex-2，由F′(x)=(1-x)e-x[1-e2(x-1)]≥0,得F(x)在R上单调增.又F(1)=0,故F(x)<0,即f(x)<f(2-x)在(-∞,1)恒成立.
由x1≠x2， f(x1)=f(x2)，不妨设x1<x2，则x1<1<x2，可得f(x1)<f(2-x1).
因为f(x2)=f(x1)<f(2-x1),2-x1>1,且f(x)在(1,+∞)单调减，所以x2>2-x1,即x1+x2>2.得证.
评注 对含参数问题,在构造差函数解决极值点偏移问题时,若极值点x0与参数有关,虽然可以沿用上述通法,但在求解函数的单调性时会变得复杂.此时可将待证不等式f(x1)>f(2x0-x2)或f(x1)<f(2x0-x2)变通修改成证明f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]>f[x0-(x2-x0)]或f(x1)=f(x2)=f[x0+(x2-x0)]<f[x0-(x2-x0)].采用换元法，不妨设x=x2-x0,则可设对称化差函数F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),解题过程相应变化.
例2 已知实数m>1, f(x)=emx-x-m有两个零点x1,x2,求证：x1+x2<0.
证明 f ′(x)=memx-1,令f ′(x)=0,得
由m>1,易见x0<0,且f(x)在(-∞,x0)单调减，在(x0,+∞)单调增，x0是f(x)的极值点.
令F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)=em(x0+x)-em(x0-x)-2x,注意到memx0=1,则
当且仅当x=0时取等号,F(x)在R上单调增,故当x∈(-∞,0)时，F(x)<F(0)=0, f(x0+x)<f(x0-x).
不妨设x1<x2,则x1∈(-∞,x0),x2∈(x0,+∞),故x1-x0<0,得f(x1)=f(x2)=f(x0+(x1-x0)<f(x0-(x1-x0))=f(2x0-x1).
由x1<x0,可知2x0-x1>x0;又x2>x0且f(x)在(x0,+∞)单调增，所以x2<2x0-x1,得x1+x2<2x0<0.得证.
2.构造齐次式
对含参数问题,我们可以通过恒等变形消去式子中的参数,用x1,x2来表示所要证的目标,利用齐次性换元(即
将目标转化成关于t的函数,再利用导数研究最值,从而证明结论.
例3 已知函数
设f(x)=m有两个不等实根x1,x2,求证：x1x2>e2.
证明 因为f(x1)=f(x2)=m,两式相减可以得到
两式相加可以得到ln x1+ln
x2-ln x1).不妨设0<x1<x2,欲证x1x2>e2，即证ln x1+ln x2>2,将上式右边上下同除以x1,即证
亦即证明
令
问题等价于证明(1+t)ln t>2(t-1).
令F(t)=(1+t)ln t-2(t-1)，则有
故F′(t)在(1,+∞)单调增，F′(t)>F′(1)=0，F(t)在(1，+∞)单调增，得F(t)>F(1)=0,得证.
3.利用对数平均数
称为正数a,b的对数平均数.构造函数可以证明(具体过程可参见文[1])对数平均数、算数平均数和几何平均数之间满足不等式
(当且仅当a=b时取等号),该式称为对数平均不等式，应用对数平均不等式证明可省去构造极值对称差函数以及构造齐次不等式的过程,简化解题过程.
比如,例1也可以通过对数平均不等式简洁证明如下:由f(x1)=f(x2)，得x1e-x1=x2e-x2，化简得
两边同时取自然对数，得x1-x2=ln x1-ln x2,即
由对数平均不等式可得
即x1+x2>2,得证.
再看一例
例4 已知函数f(x)=ln x-ax2+(2-a)x(a>0),若f(x)的图象与x轴交于A,B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明f ′(x0)<0.
证明
由f ′(x)在(0,+∞)单调减,且
可知
是f(x)的极值点.若设点A(x1,0),B(x2,0),则
由f(x1)=f(x2)=0,得
于是,
可得
由f ′(x)在(0,+∞)单调减,且
,要证f ′(x0)<0,只要证
即
即证
移项整理,只要证
由对数平均不等式,显然有
故问题得证.
极值点偏移问题是高考命题的热点.此类问题的求解,不仅充分训练了学生把实际问题抽象成数学问题的思维方式,使学生逐步形成了应用数学的意识,同时也符合近年来比较热门的六大数学学科核心素养．综上所述，首先,解决极值点偏移问题时,我们应该掌握其解题的通法,以不变应万变;同时,面对年年都在发生变化的极值点偏移问题,我们也不能墨守成规,应该从多种角度去解决问题,抓住问题本质,难题方能迎刃而解．