从反演的角度看Kvant的M2554题

李强先生在2020年4月3日的“久霖竞赛田”给出了《Kvant》杂志2019年问题M2554的一个解答. 现把笔者看到此题时的想法分享如下.

首先, 把题目重新叙述一下, 便于读者了解其内容.

思路想法

第一眼, 看到若干圆和线段, 而且各圆两两相切, 线段的构造也相对简单, 端点也都位于这些圆上. 很容易让人感觉:

这是一个把简单图形经反演变换后得出的结论.

接下来, 欲将此题还原为原来较为简单的图形, 就要想法子再把图形反演回去. 一般情况下, 选择

有较多圆及线段经过的点为反演中心.

这样做的原因是比较容易处理图形, 具体地说:

i) 经过该点的直线仍为原直线;

ii) 经过该点的圆变换为不过该点的直线;

iii) 不经过该点的直线变换为过该点的圆;

iv) 不经过该点的圆则变换为一个不过该点的圆;

v) 变换前两图形的公共点变换后仍为对应两图形的公共点.

本题中共出现4个点, 符合上述"有较多圆及线段经过"要求的点为B和C. 那选择哪一个更合适呢? 再看所需证结论涉及的线段BC, CD, 它们均经过C, 这就能保证变换后BC和CD仍是直线段, 处理起来简单. 而若以B为反演中心, 就会把CD变成一段弧, 使得结论的描述变得复杂. 所以, 决定以C为反演中心试试.