图解普林斯顿微积分(重制) 04：连续与可导

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▌第5章连续性和可导性
来看看函数的两种类型的光滑性: 连续性和可导性(Continuity and Differentiability). 一个函数是连续的, 则图像是没有间断、跳跃或无限逼近的振荡.

▌5.1 连续性

比如对于

这样的函数在

处有一条垂直渐近线(Vertical asymptotes), 把函数图像分成了两部分.

5.1.1 在一点处连续
如果

, 函数

在点

处连续.

5.1.2 在一个区间上连续
清楚了函数在一个单点上连续的定义, 再看函数在区间

上的每一点都连续, 那么它在该区间上连续.

对于形如

的区间, 这里对于点

和

需要函数的单侧连续性.

5.1.3 连续函数的一些例子
很多的常见函数都是连续的. 例如, 每一个多项式都是连续的(证明见书); 初等函数, 如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数; 绝对值函数也是连续的;

5.1.4 介值定理
知道一个函数是连续的会有很多好处. 我们将看看其中两个好处. 第一个介值定理（intermediate value theorem, 又称中间值)就是用到了连续函数在两点之间的连续性.
如果连续函数

通过

两点，它也必定通过

区间内的任一点

.
介值定理图解动画如下所示:

5.1.6 连续函数的最大值和最小值
函数是连续的所带来的第二个好处给出了最大值和最小值定理(Max-Min Theorem:):

△ 定理:
如果

在

上连续, 那么

在

上至少有一个最大值和一个最小值.

▌5.2 可导性(Differentiability)
连续性意味着函数光滑, 另一种表示光滑的特性就是可导性, 这实质上就表示函数有导数. 发展微积分的最初灵感之一来自试图去理解运动物体的速度、距离和时间的关系.

5.2.1 平均速率(Average speed)
平均速率(speed), 距离(distance), 位移(displacement), 终点位置(final postion), 初始位置(initial position), 平均速度(average velocity).

✪ 提醒: 速度可以是负的, 而速率必定是非负的.

5.2.3 瞬时速度(Instantaneous velocity)
在时刻

的瞬时速度

5.2.4 速度的图像阐释(The graphical interpretation of velocity)

当

趋于

时,

点就越来越接近点

点. 由于瞬时速度是割线在

趋于

时的极限. 于是瞬时速度就等于通过点

的切线的斜率.

5.2.5 切线(Tangent lines)
首先需要注意的一点, 可能在一个图像上给定的一点没有切线. 例如, 考虑

的图像, 在

处没有切线, 因为原点处是尖点, 不能在那里同时顾及两边的图像.

如果通过

的切线存在, 你又该如何找到它?
通过

的切线斜率

5.2.6 导函数
对

关于变量

求导得到函数

, 也即是

如果对于某个特定的

, 极限不存在, 那么

的值就没有在导函数

的定义域里, 即

在

点不可导.

5.2.7 作为极限比的导数
在导函数

的公式中,

其实为

的增量.

该公式的一个阐释是, x 中的一个小的变化产生了大约

倍的

中的变化. 用 dx 表示x 中的十分微小的变化". 对y 也有类似的表示方法, 可以用
一种不同的且更方便的方法来写导数：用

来代替

.

5.2.9 二阶导数和更高阶导数
函数

取其导数得到一个新的函数

, 实际上可以采用这个新的函数, 再次求导. 最终得到导数的导数, 这被称为二阶导, 写作

, 可以用

来代替.

5.2.10 何时导数不存在
右导数和左导数的思想定义分别为:
左导数:

右导数:

跟在极限的情况一样, 如果左导数和右导数存在且相等, 那么实际的导数存在且有相同的值. 同时, **如果导数存在, 那么左右导数都存在且都等于导数值**. 下图是不满足上述结论的动画示例 - 绝对值函数在零点不可导情况:

函数

就是在其定义域内不是处处可导的连续函数, 不过除了

点外函数可导. 也存在着连续但处处不可导的函数, 如下面所示的魏尔斯特拉斯函数.

5.2.11 可导性和连续性(Differentiability and Continuity)
✪**可导函数必连续.** 不过从上面

例子, 就可以知道连续函数并不总是可导的. (完)