数学·数学史·数学教师（三）
三、实际的做法
我不认为单单开设一门数学史课程可以达致上述目的，正如我不认为在中小学独立地讲授数学史是合适的做法。我心目中的数学史，跟数学史家心目中的数学史有些不同，也跟一些人心目中的数学史不同。我心目中的数学史，并非单指数学个别课题之编年史，也并非单指数学家的生平逸事，而是既指数学知识的演变，也指创造这种知识的人、产生这些人和这种知识的客观条件、还有这种知识的社会作用。我们要追求的是一种“历史感”，这种“历史感”不能单从一连串名字、一系列大事年表、一帧帧肖像、或者一页页小故事中得到。历史是在长时间中由事件累积而成，“历史感”也是在长时间中因学习历史而由淡至浓，以至浓得与本科混为一体而不可分。Johann Wolfgang von Gothe曾经说过：“一门科学的历史就是那门科学本身。”我的信念就是：数学史就是数学本身。所以，最理想的做法，是把师范训练中的整体数学课程有机地围绕着数学史建立起来。至少，让数学史的精神渗透到课程里去。我可以提议几本适合教育学院的课本：
L.N. H.Bunt, P.S.Jones &. J.D. Bedient, The His- torical Roots of Elementary Mathematics, PrenticeHall，1976;
H. Eves, An Introduction to the History of Mathe-matics,4th Edition, Holt-Rinehart &.Winston,1976;
E. Sondheimer &. A.Rogerson, Numbers and Infini- ty - A Historical Account of Mathematical Concepts, Cambridge University Press,1981；
H. Eves &. C. V. Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, Holt, Rinehart &. Winston,1965；
M.Kline, Mathematics in Western Culture,OxfordUniversity Press,1953；
李俨、杜石然，《中国古代数学简史》港版，商务印书馆，1976年。
我也可以提出一些供数学教师参考的“材料的材料”：
Mathematics Appreciation Courses: The Report of a CUPM Panel (Bibliography &. Reference List), Amer. Math. Monthly,1983(90):C11-C20;
L. Leake, What Every Mathematics Teacher ought to Read (Seventeen Opinions), Math. Teacher, 1972(65):637-641；
L. Leake,What Every Secondary School Mathematics Teacher Should Read - Twenty-four Opinions, Math.Teacher，1983(76):128-133。
合起来它们列出了三百种以上的(英文)书籍文章，使人目不暇接。当然，还有很多材料没给包括在内，其中一本不在上述名单却十分值得教师阅读的书就是：
M. Kline. Why Johnny can’t Add, VintageBooks,1973。
至于合适的中文参考材料也有不少，我个人最熟悉的自然是下面两种：
萧文强.《为什么要学习数学？——数学发展史给我们的启发》，学生时代出版社，1978年；
《抖擞文选：数学教学论丛》，商务印书馆，1981年。
我们不可能在这里详细讨论课程内容，但举一个例子或者可以把我的设想表达得较为清楚。几何向来是课程设计上的“疙痞”，不论“新数”、“旧数”都未曾很好地解决这个问题。在1960年代(或之前)念中学的朋友，一定还记得当时的综合几何是多么困难的一部分，起初几课却又似是多么无聊做作，先来一大堆说了等于没说的定义(如直线是有长度没有广度的东西)，再证明一些看来明显不过的定理(如两直线相交，对顶角相等)。学生正困惑于什么需证明、什么不需证明之际，形势却急转直下，接踵而来的是大批使人不知从何入手的习题，尤其作图问题与轨迹问题，往往连班上“高手”也给难倒了！1960年代后期“新数”入侵课堂后，处理几何的方法走向两个极端，一是加入更多公理使它更严谨化，一是完全抛却证明而单从直观角度学习几何知识。甚至有人认为综合几何根本不应在中学课程占一席位，不如以解析几何代替了它。我不知道1980年代中学几何是什么样子，但从我的学生的反映，它一定不再是20多年前我学的那样了。曾经有位学生告诉我：“看了古希腊数学后，我才知道反证法对几何也有用，以前在中学我只在代数用它。”另一次我拟了一道测验题，问能否用一条不经切割的铁线曲成一个正八面体的骨架，用意原在考察学生对图论的认识，谁料全班45人中只有七八个答对，其余的学生人人皆知运用什么定理，可惜他们弄不清八面体是什么样子。有人以为那是正八边形，也有人以为那是正八边形为底的角锥！我不是要“复古”，但我觉得综合几何在教育上仍有其优点，若经适当编排，它是训练抽象思维和逻辑思维、培养空间想像力的好工具，而且不少爱好数学的朋友一定还记得当年如何对综合几何“一见钟情”！不过，要领略综合几何之美，单是“学”恐怕不足，犹需有“识”。特别是教师本人应该知道一点几何的历史，才晓得怎样布置教材。适合中学的综合几何材料，差不多全部在公元前3世纪希腊数学家 Euclid 的 Elements前六卷找得到。明代徐光启与意大利传教士利玛窦合译Elements亦只译了前六卷(称为《几何原本》》，使后世不少人误以为Elements就是几何课本。事实上，Elements十三卷包罗不少题材，不单是几何知识，而其编排处理的手法，更奠下后世数学公理化的基石，开了数学演绎精神的先河。这本书对后世的数学发展影响至大，也是人类思想史上的一个里程碑，难怪徐光启评曰：“由显入微，从疑得信。盖不用为用，众用所基。真可谓万象之形圄，百家之学海。”关于这本书的性质及编写目的，众说纷纭，近年来更出现一些新的观点和论证，使“定案”变“悬案”，这本珍贵文献更值得研究了。虽然我们不是要做数学史家，但这样重要的一本著述显然是应该认识的。通过对这本书的学习，突出重点(卷一不妨细读)，回顾古希腊数学的发展，探讨欧氏几何与非欧几何的演变，对于增进我们的几何“学识”是十分有帮助的。
我们在香港大学数学系里开设了一门叫做“数学发展史”的课，课程的宗旨可分为两点：(1)除了使学生明白个别选讲课题的发展经过以外，更希望通过这些课题的阐述使学生对数学有个整体认识，把它看成是人类文化的一部分，是人类集体智慧的累积结晶，是一门生机蓬勃的学科。(2)通过专题探讨，培养学生的独立探讨能力、书写和口述的表达能力。有关这门课的详细情形，可参看以下的文章：
梁鉴添、萧文强.一门与数学发展史有关的课程，《抖撒》双月刊第41期，1980年11月，38-44页。
四、结 语
让我重复一遍，数学教学的目标是(1)思维训练；(2)实用知识；(3)文化修养，三者应有适当的平衡。要同时达到这三点，一定有客观条件上的困难，但作为数学教师，我们必须肩负这项责任。经常接触数学，可保持本身的活力和热情。想想我们学科的历史、本质和意义，或者是一种激励和鼓舞。近代著名数学家 Hermann Weyl 说过：“我们并非宣称数学应该享有科学之皇后的特权，有其他科目与数学有同等甚至更高的教育价值。但数学立下所有心智活动所追求的客观真理标准，科学和技术是它的实用价值的见证。如同语言及音乐，数学也是人类思维的自由创作力之主要表现形式，同时它又是通过建立理论来认识客观世界的一般工具。所以数学必须继续成为我们要教授给下一代的知识和技能中的基本成分，也是我们要留传给下一代的文化中的基本成分。”这就是我们的事业。