高中数学 - 导数的概念及导数的运算
目的:1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数
2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程
3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性
重点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义
2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程
难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义
2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程
过程:1、引入导数概念
3、给出导数定义
(1)函数在某点导数的定义
(2)函数在某区间导数的定义
(3)单侧导数的定义
4、求导数举例
5、导数的几何意义
6、求切线和法线方程举例
7、可导与连续的关系
8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性
9、小结
10、作业
一、 导数的概念
1、导数的引入
设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, s是t的函数:
s=f(t),
求动点在时刻t0的速度.
考虑比值
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,
这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值
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的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即
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,
这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.
2、导数的定义
从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:
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.
令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), x®x0相当于Dx ®0, 于是
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成为
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或
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.
导数的定义 设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义, 当自变量x在x0处取得增量Dx时, 相应地函数y取得增量
Dy=f(x0+Dx)-f(x0),
如果当Dx®0时,
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的极限存在, 则称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记作
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, 即
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,
也可记作
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,
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或
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.
函数f(x)在点x0处有导数(即极限
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存在),有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限
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不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于Dx®0时,
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®
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也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.
拓展:导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有
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,
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.
在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.
总结说明:
函数的变化率
定义 |
实例 |
|
平均 变化率 |
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 为= |
①平均速度; ②曲线割线的斜率 |
瞬时 变化率 |
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即 = |
①瞬时速度:物体在某一时刻的速度; ②切线斜率 |
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1.平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.
2.平均变化率也可以用式子表示,有什么几何意义?
答 Δx表示x2-x1是相对于x1的一个“增量”;Δy表示f(x2)-f(x1).
观察图象可看出,= 表示曲线y=f(x)上两点(x1,f(x1))、(x2,f(x2))连线的斜率.
3.
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基础演练:
已知函数
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(1)求当x1=4,且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率;
(2)求当x1=4,且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率;
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4. 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数.
5.求函数f(x)=3x2-2x在x=1处的导数.
6.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于
7.已知函数f(x)=,则f′(1)=________.
如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都可导, 就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导, 这时, 对于开区间(a,b)内的任一点x , 都对应着一个确定的导数
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. 这样就构成了一个以(a,b)为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数, 简称导数,记作
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,
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,
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, 或
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. 即
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=
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或
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f ¢(x0)与f ¢(x)之间的关系:
函数f(x)在点x0处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值, 即
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.
导函数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ¢(x)在x0处的值.
左右导数: 所列极限存在, 则定义
f(x)在
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的左导数:
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=
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;
f(x)在
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的右导数:
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=
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.
左导数和右导数统称为单侧导数.
导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢-(x0)和右导数f ¢+(x0)都存在且相等.
如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f ¢+(a) 和左导数f ¢-(b)都存在, 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导.
.
求导数举例
例1.求函数f(x)=C(C为常数)的导数.
解:
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.
即 (C ) ¢=0.
例2. 求
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的导数.
解:
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.
例3. 求
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的导数.
解:
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.
例4.求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数.
解: f ¢(a)
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(xn-1+ax n-2+ × × ×+a n-1)=na n-1.
把以上结果中的a 换成x 得 f ¢(x)=nx n-1, 即 (x n)¢=nx n-1.
(C)¢=0,
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,
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,
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.
更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数.
例5.求函数f(x)=sin x 的导数.
解: f ¢(x)
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.
即 (sin x)¢=cos x .
用类似的方法, 可求得 (cos x )¢=-sin x .
例6.求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的导数.
解: f ¢(x)
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.
特别地有(e x)=e x .
例7.求函数f(x)=log ax (a>0, a ¹1) 的导数.
解:
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.
解:
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.
即
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. :
特殊地
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.
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,
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.
例8.求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.
解:
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,
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,
因为f ¢-(0)¹ f ¢+(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导.
总结与延伸:
1.常见函数的导数公式:
(1)
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(C为常数); (2)
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(
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);
(3)
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; (4)
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;
(5)
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; (6)
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;
(7)
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; (8)
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.
2.导数的运算法则:
法则1
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.
法则2
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,
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.
法则3
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.
3.复合函数的导数:设函数u=
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(x)在点x处有导数u′x=
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′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u),则复合函数y=f(
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(x))在点x处也有导数,且
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或f′x(
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(x))=f′(u)
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′(x).
基础演练:
1:求函数
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的导数.
2.函数y=x2cosx的导数为 。
函数y=tanx的导数为 。
3.求下列复合函数的导数:
⑴
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; ⑵
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;
⑶
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; ⑷
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.
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二、导数的几何意义
设有曲线C及C上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT, 直线MT就称为曲线C有点M处的切线.
设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0, y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x,y), 于是割线MN的斜率为
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,
其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x0. 如果当x® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即
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存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.
函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即
f ¢(x 0)=tan a ,
其中a是切线的倾角.
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0. :
由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为
y-y0=f ¢(x0)(x-x0).
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果
f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为
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, 从而法线方程为
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.
例8. 求等边双曲线
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在点
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处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.
解:
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, 所求切线及法线的斜率分别为
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,
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.
所求切线方程为
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, 即4x+y-4=0.
所求法线方程为
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, 即2x-8y+15=0.
函数的可导性与连续性的关系
定理1 如果函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续.
设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即
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存在. 则
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.
这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的.
另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.
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例. 函数
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在区间(-¥, +¥)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大
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.
基础演练:
1.曲线y=x3的切线中斜率等于1的直线 ( )
A.不存在 B.存在,有且仅有一条
C.存在,有且恰有两条 D.存在,但条数不确定
2.曲线
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在
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处的切线平行于直线
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,则
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点的坐标为( )
A、( 1 ,0 ) B、( 2 , 8 )
C、( 1 ,0 )和(-1, -4) D、( 2 , 8 )和 (-1, -4)
3.已知曲线
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在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标是( )
A (1,3) B (-4,33) C (-1,3) D 不确定
4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,则在4s附近的平均变化率 .
5.曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为__________________.
6.已知l是曲线y=
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x3+x的切线中,倾斜角最小的切线,则l的方程是 .
7已知过曲线y=
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x
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上点P的切线l的方程为12x-3y=16,那么P点坐标只能为 ( )
A.
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B.
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C.
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D.
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8.已知
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的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2.
求
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的解析式.
9.求过点(2,0)且与曲线y=
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相切的直线的方程.
例题精讲:
例1.求下列函数的导数
①y=(2x-3)5 ②
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③
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④y=sin32x
解析:① 设u=2x-3,则y=(2x-3)5分解为y=u5,u=2x-3
由复合函数的求导法则得:
y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4=10(2x-3)4
② 设u=3-x,则
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可分解为
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,
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。
③
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④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x
例2.已知曲线
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,问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点切线方程。
解析:
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,令
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,即
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,
得x=4,代入
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,得y=5,
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为
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,即x-2y+6=0。
例3.已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4。
① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
② 第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。
解析:①把x=1代入C的方程,求得y=-4,∴ 切点为(1,-4),y'=12x3-6x2-18x
∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12,∴ 切线方程为y=-12x+8。
②由
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得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,
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。
公共点为(1,-4)(切点),
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,除切点外,还有两个交点
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。
评析:举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确。
*例4.设
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,求f'(x)。
解析:当x>0时,
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,当x<0时,
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,
由于x=0是该函数的分界点,由导数定义知
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由于f'+(0)=f'-(0)=1,故有f'(0)=1于是:
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,
即:
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。
三、应用练习:
1、已知作直线运动的物体,其位移s与时间t的
函数关系是 s=3t-t2
(1)求此物体的初速度
(2)求物体在t=2时的瞬时速度
(3)求从t=0到t=2的平均速度
2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.
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4、y=x3在点P(2,8)处的切线方程是( )
A、12x+y-16=0 B、12x-y-16=0
C、12x-y+16=0 D、12x+y+16=0
5、某物体运动时,其路程S与时间t的函数关系为S=2(1-t)2,则它在t=1.2秒时的瞬时速度为_____。
6、常函数y=c导数为零的几何意义是___________________。
7、在曲线
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上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135º。
四、能力训练
1.已知函数
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,且f'(1)=2,则a的值为______。
2.设f(x)=xlnx,则f'(2)=________。
3.给出下列命题:
①
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; ②(tanx)'=sec2x
③函数y=|x-1|在x=1处可导; ④函数y=|x-1|在x=1处连续。
其中正确的命题有:_____。
4.函数y=cosx在点
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处的切线方程为_______。
5.已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式。
总结归纳:
平均变化率与导数:
定义 |
实例 |
|
平均 变化率 |
函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 为= |
①平均速度; ②曲线割线的斜率 |
瞬时 变化率 |
函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即 = |
①瞬时速度:物体在某一时刻的速度; ②切线斜率 |
常见函数的导数:
(1)
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(C为常数); (2)
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(
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);
(3)
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; (4)
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;
(5)
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; (6)
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;
(7)
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; (8)
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.
导数与切线:
函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即
f ¢(x 0)=tan a ,
其中a是切线的倾角.
如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0. :
由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为
y-y0=f ¢(x0)(x-x0).
过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果
f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为
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, 从而法线方程为
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.
课后作业:
1、若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则
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等于
2、设函数
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在
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处可导,则
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等于
3、求下列函数的导数:
(1)y=(2x-3)5;
(2)y=;
(3)y=ln(2x+5).
4、曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为________.
5、若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=________.
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6、如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是
y=-2x+9,则f(4)+f′(4)的值为________.
7、曲线C:y=xln x在点M(e,e)处的切线方程为________.
8、若曲线
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在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直,则实数b的值为________.
9、已知点P在曲线
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上
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为曲线在点P处的切线的倾斜角,则
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的取值范围是
10、过点
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作曲线
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:
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的切线,切点为
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,设
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在
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轴上的投影是点
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,过点
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再作曲线
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的切线,切点为
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,设
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在
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轴上的投影是点
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,…,依次下去,得到第
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个切点
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.则点
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的坐标为 .