高中数学 - 导数的概念及导数的运算

目的:1、理解导数定义,能够运用定义求解简单函数的导数

2、了解导数的几何意义,会求曲线在某点的切线和法线方程

3、掌握可导与连续的关系,判别函数在某点的可导性与连续性

重点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义

2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程

难点:1、导数定义,包括函数在某点与在某区间的定义,单侧导数的定义

2、导数的几何意义,求切线方程与法线方程

过程:1、引入导数概念

3、给出导数定义

(1)函数在某点导数的定义

(2)函数在某区间导数的定义

(3)单侧导数的定义

4、求导数举例

5、导数的几何意义

6、求切线和法线方程举例

7、可导与连续的关系

8、举例判别函数在某点处的连续性和可导性

9、小结

10、作业

一、       导数的概念

1、导数的引入

设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t质点的坐标为s, st的函数:

        s=f(t),

求动点在时刻t0的速度.

考虑比值

,

这个比值可认为是动点在时间间隔t-t0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t0®0, 取比值

的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即

,

这时就把这个极限值v称为动点在时刻t0的速度.

2、导数的定义

从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限:

.

令Dx=x-x0, 则Dy=f(x0+Dx)-f(x0)= f(x)-f(x0), x®x0相当于Dx ®0, 于是

成为

.

导数的定义  设函数y=f(x)在点x0及其近旁有定义, 当自变量xx0处取得增量Dx时, 相应地函数y取得增量

Dy=f(x0+Dx)-f(x0),

如果当Dx®0时,

的极限存在, 则称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数, 记作

, 即

,

也可记作

,

.

函数f(x)在点x0处有导数(即极限

存在),有时也说成f(x)在点x0可导.如果极限

不存在, 就说函数y=f(x)在点x0处不可导.如果不可导的原因是由于Dx®0时,

®

也往往说函数y=f(x)在点x0处的导数为无穷大.

拓展:导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有

,

.

在实际中, 需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题, 在数学上就是所谓函数的变化率问题. 导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述.

总结说明:

函数的变化率

定义

实例

平均

变化率

函数yf(x)从x1x2的平均变化率

为=     

①平均速度;

②曲线割线的斜率

瞬时

变化率

函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即

①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;

②切线斜率

1.平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢.

2.平均变化率也可以用式子表示,有什么几何意义?

答 Δx表示x2x1是相对于x1的一个“增量”;Δy表示f(x2)-f(x1).

观察图象可看出,=   表示曲线yf(x)上两点(x1f(x1))、(x2f(x2))连线的斜率.

3.

基础演练:

已知函数

(1)求当x1=4,且Δx=1时,函数增量Δy和平均变化率;

(2)求当x1=4,且Δx=0.1时,函数增量Δy和平均变化率;

4. 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3xx=2处的导数.

5.求函数f(x)=3x2-2xx=1处的导数.

6.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则等于

7.已知函数f(x)=,则f′(1)=________.

如果函数y=f(x)在开区间a,b内的每一点都可导, 就称函数y=f(x)在开区间a,b内可导, 这时, 对于开区间a,b内的任一点x , 都对应着一个确定的导数

. 这样就构成了一个以a,b)为定义域的新函数, 这个新函数叫做原来函数f(x)的导函数, 简称导数,记作

,

,

, 或

. 即

=

    f ¢(x0)与f ¢(x)之间的关系:

函数f(x)在点x0处的导数f ¢(x)就是导函数f ¢(x)在点x=x0处的函数值, 即

.

导函数f ¢(x)简称导数, 而f ¢(x0)是f(x)在x0处的导数或导数f ¢(x)在x0处的值.

左右导数: 所列极限存在, 则定义

f(x)在

的左导数:

=

;

f(x)在

的右导数:

=

.

左导数和右导数统称为单侧导数.   

导数与左右导数的关系: 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f ¢-(x0)和右导数f ¢+(x0)都存在且相等.

如果函数f(x)在开区间(a, b)内可导, 且右导数f ¢+(a) 和左导数f ¢-(b)都存在, 就说f(x)有闭区间[a, b]上可导.

.

求导数举例

例1.求函数f(x)=CC为常数)的导数.

解:

.

即    (C ) ¢=0.

例2. 求

的导数.

解:

.

例3. 求

的导数.

解:

.

例4.求函数f(x)=x n (n 为正整数)在x=a处的导数.

解: f ¢(a)

(xn-1+ax n-2+ × × ×+a n-1)=na n-1.

把以上结果中的a 换成xf ¢(x)=nx n-1, 即  (x n)¢=nx n-1.

(C)¢=0,

,

,

.

更一般地, 有(x m)¢=mx m-1 , 其中m为常数.

例5.求函数f(x)=sin x 的导数.

解:  f ¢(x)

.

即  (sin x)¢=cos x .

用类似的方法, 可求得  (cos x )¢=-sin x .

例6.求函数f(x)= a x(a>0, a ¹1) 的导数.

解:  f ¢(x)

.

特别地有(e x)=e x .

例7.求函数f(x)=log ax (a>0, a ¹1) 的导数.

解:

.

解:

.

. :

特殊地

.

,

.

例8.求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.

解:

,

,

因为f ¢-(0)¹ f ¢+(0), 所以函数f(x)=|x|在x=0处不可导.

总结与延伸:

1.常见函数的导数公式:

(1)

(C为常数);    (2)

(

);

(3)

;       (4)

(5)

;        (6)

(7)

;   (8)

2.导数的运算法则:

法则1   

法则2

,

法则3

3.复合函数的导数:设函数u=

(x)在点x处有导数ux=

′(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f′(u),则复合函数y=f(

(x))在点x处也有导数,且

fx(

(x))=f′(u)

′(x).

基础演练:

1:求函数

的导数.

2.函数y=x2cosx的导数为                      。

函数y=tanx的导数为                      。

3.求下列复合函数的导数:

;                             ⑵

;   ⑷

二、导数的几何意义

设有曲线CC上的一点M, 在点M外另取C上一点N, 作割线MN. 当点N沿曲线C趋于点M时, 如果割线MN绕点旋转而趋于极限位置MT, 直线MT就称为曲线有点处的切线.

设曲线C就是函数y=f(x)的图形. 现在要确定曲线在点M(x0y0)(y0=f(x0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M外另取C上一点N(x,y), 于是割线MN的斜率为

,

其中j为割线MN的倾角. 当点N沿曲线C趋于点M时, x®x0. 如果当x® 0时, 上式的极限存在, 设为k , 即

存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k=tan a, 其中a是切线MT的倾角. 于是, 通过点M(x0, f(x0))且以k 为斜率的直线MT便是曲线C在点M处的切线.

函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即

 f ¢(x 0)=tan a ,

其中a是切线的倾角.

如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0. :

由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为

 y-y0=f ¢(x0)(x-x0).

过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果

f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为

, 从而法线方程为

 

.

例8. 求等边双曲线

在点

处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解:

, 所求切线及法线的斜率分别为

        

,

.

所求切线方程为

, 即4x+y-4=0.

所求法线方程为

, 即2x-8y+15=0.

函数的可导性与连续性的关系

定理1  如果函数y=f(x)在点x处可导, 则函数在该点必连续.

设函数y=f(x)在点x0 处可导, 即

存在. 则

.

这就是说, 函数y=f(x)在点x0 处是连续的.

另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.

例. 函数

在区间(-¥, +¥)内连续, 但在点x=0处不可导. 这是因为函数在点x=0处导数为无穷大

.

基础演练:

1.曲线y=x3的切线中斜率等于1的直线                         (    )

A.不存在                        B.存在,有且仅有一条

C.存在,有且恰有两条            D.存在,但条数不确定

2.曲线

处的切线平行于直线

,则

点的坐标为(    )

A、( 1 ,0 )                         B、( 2 , 8 )

C、( 1 ,0 )和(-1, -4)             D、( 2 , 8 )和 (-1, -4)

3.已知曲线

在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标是(     )

   A    (1,3) B  (-4,33)   C  (-1,3)   D  不确定

4.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,则在4s附近的平均变化率              .

5.曲线yx3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为__________________.

6.已知l是曲线y=

x3+x的切线中,倾斜角最小的切线,则l的方程是       .

7已知过曲线y=

x

上点P的切线l的方程为12x-3y=16,那么P点坐标只能为    (   )

A.

B.

C.

D.

8.已知

的图象经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2.

的解析式.

9.求过点(2,0)且与曲线y=

相切的直线的方程.

例题精讲:

1求下列函数的导数

  ①y=(2x-3)5  ②

  ③

  ④y=sin32x

  解析:① 设u=2x-3,则y=(2x-3)5分解为y=u5,u=2x-3

  由复合函数的求导法则得:

 y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u4=10(2x-3)4

  ② 设u=3-x,则

可分解为

  

  ③

       

  ④ y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x

  2已知曲线

,问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直,并写出这一点切线方程。

解析:

,令

,即

 得x=4,代入

,得y=5,
  ∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为

,即x-2y+6=0。

  3已知曲线C:y=3x4-2x3-9x2+4。
  ① 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;
  ② 第①小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。

  解析:①把x=1代入C的方程,求得y=-4,∴ 切点为(1,-4),y'=12x3-6x2-18x

  ∴ 切线斜率为k=12-6-18=-12,∴ 切线方程为y=-12x+8。

  ②由

  得3x4-2x3-9x2+12x-4=0,即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0,

  公共点为(1,-4)(切点),

,除切点外,还有两个交点

  评析:举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点,当曲线是二次曲线时,我们知道直线与曲线相切,有且只有一个公共点,这种观点对一般曲线不一定正确。

  *4

,求f'(x)。

  解析:当x>0时,

,当x<0时,

  由于x=0是该函数的分界点,由导数定义知

  

  由于f'+(0)=f'-(0)=1,故有f'(0)=1于是:

  即:

三、应用练习:

1、已知作直线运动的物体,其位移s与时间t的

函数关系是 s=3t-t2

(1)求此物体的初速度

(2)求物体在t=2时的瞬时速度

(3)求从t=0到t=2的平均速度

2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.

4、y=x3在点P(2,8)处的切线方程是(   )
    A、12x+y-16=0         B、12x-y-16=0

C、12x-y+16=0      D、12x+y+16=0

5、某物体运动时,其路程S与时间t的函数关系为S=2(1-t)2,则它在t=1.2秒时的瞬时速度为_____。

6、常函数y=c导数为零的几何意义是___________________。

7、在曲线

上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135º。

、能力训练

  1.已知函数

,且f'(1)=2,则a的值为______。

  2.设f(x)=xlnx,则f'(2)=________。

  3.给出下列命题:

  ①

; ②(tanx)'=sec2x

  ③函数y=|x-1|在x=1处可导; ④函数y=|x-1|在x=1处连续。

  其中正确的命题有:_____。

  4.函数y=cosx在点

处的切线方程为_______。

  5.已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数,它的图象过点A(0,-1),且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0,求函数y=f(x)的表达式。

总结归纳:

平均变化率与导数:

定义

实例

平均

变化率

函数yf(x)从x1x2的平均变化率

为=     

①平均速度;

②曲线割线的斜率

瞬时

变化率

函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0x0+Δx的平均变化率在Δx→0时的极限,即

①瞬时速度:物体在某一时刻的速度;

②切线斜率

常见函数的导数:

(1)

(C为常数);    (2)

(

);

(3)

;       (4)

(5)

;        (6)

(7)

;   (8)

导数与切线:

函数y=f(x)在点x0处的导数f ¢(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处的切线的斜率, 即

 f ¢(x 0)=tan a ,

其中a是切线的倾角.

如果y=f(x)在点x0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x)在点M(x0, f(x0))处具有垂直于x轴的切线x=x0. :

由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x)在点M(x0, y0)处的切线方程为

 y-y0=f ¢(x0)(x-x0).

过切点M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x)在点M处的法线如果

f ¢(x0)¹0, 法线的斜率为

, 从而法线方程为

 

.

课后作业:

1、若函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则

等于

2、设函数

处可导,则

等于

3、求下列函数的导数:

(1)y=(2x-3)5

(2)y=;

(3)y=ln(2x+5).

4、曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为________.

5、若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f′(1)=2,则f′(-1)=________.

6、如图所示,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是

y=-2x+9,则f(4)+f′(4)的值为________.

7、曲线C:y=xln x在点M(e,e)处的切线方程为________.

8、若曲线

在x=1处的切线与直线x+by+1=0垂直,则实数b的值为________.

9、已知点P在曲线

为曲线在点P处的切线的倾斜角,则

的取值范围是

10、过点

作曲线

的切线,切点为

,设

轴上的投影是点

,过点

再作曲线

的切线,切点为

,设

轴上的投影是点

,…,依次下去,得到第

个切点

.则点

的坐标为      .

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