悖论的发生原因和一条思维原则
杨六省
【摘要】通过对11个著名逻辑-语义悖论的解析，发现它们的产生均可用一条可被称作“逻辑先后不得混淆原则”的规则进行解释。文章猜测，违反上述原则，可能是逻辑-语义悖论产生的普遍原因。
【关键词】悖论；非可靠推理；逻辑先后不得混淆原则
【作者简介】杨六省，陕西省长安师范学校高级讲师（西安 710100）
【原文出处】《毕节学院学报》综合版（贵州毕节），2010.1.52～57
关于悖论问题，哥德尔(Godel, Kurt)说，这个问题不解决，形式逻辑就会破产，整个人类思维的大厦就会崩溃。[1]由此足见该问题深刻的基础性和严重性。寻求逻辑-语义悖论产生的普遍原因，是本文的研究目的之一；而试图发现可以解释逻辑-语义悖论产生的普遍原因的某种新的思维规律，更是本文重要的研究目的。
一、关于悖论的定义
悖论的本质特性，理应在其定义中得到准确的反映。但学界在关于如何给悖论下定义这个关乎要旨的问题上，却众说纷纭，难有共识。本文不想过多地涉及这些争议，下面是笔者给出的悖论定义：对于一个概念、命题或语句等，如果存在一个看似合理的提问，随后经过一个看似可靠的推理，得到了两个自相矛盾的命题或这样两个命题的等价式，则称这两个同时并存且自相矛盾的命题或这样两个矛盾命题的等价式为一个悖论。
悖论定义中的“推导结论”显然是不可接受的，因为它违背了一条人人皆知的原理，即逻辑上不相容的命题不可能同时为真。由此不难知道，这结论的荒谬性必是由于推理前提或推理形式的有效性出了问题。鉴于此，笔者认为，说到底，悖论是非可靠推理的产物，简言之，悖论的实质是人类的思维犯了错，而所谓解除悖论，就是对推理过程的非可靠性作出解释。
本文的目的之一，是寻求解除逻辑-语义悖论的普遍原则。而下面的一条（迄今尚未被确立的）思维原则，正是笔者所获得的重要结果。这条原则说的是：在处理概念之间的关系时，逻辑上属后的东西不得与逻辑上在先的东西相混淆。我们不妨称之为逻辑先后不得混淆原则，简称逻辑先后律。该原则要求所提问题及论证过程论域的正当性。
二、关于11个著名逻辑-语义悖论发生原因的解析
本文的讨论只涉及语义学悖论和集合论悖论，选择被分析对象的标准是：著名和众所周知。
1、关于说谎者悖论（Liar paradox）的发生原因
美国数学家、逻辑学家S.C.克林(S.C.Kleene)在为《大英百科全书》撰写的《数学基础》一文中关于说谎者悖论曾这样写道：“这句话，如真，即假；如假，则真。至今没有一个人能够使大家信服地明确提出悖论的推理中有任何谬论，从而解除悖论。”
这是一个最古老的语义悖论。其后期的表述形式是：本语句是假的，试问，该语句是真的还是假的？假设该语句为真，根据其语义，可得其为假；若假设该语句为假，其语义又恰好“是其所是”，可得其为真。两相矛盾。
下面我们再来看看A.塔尔斯基(A.Tarski)关于说谎者悖论的“论证”表述。他写道：
考虑如下句子：印在本书第90页第16行的句子不是真的。
为简明起见，我们将用字母“S”来代替刚刚表述的这个句子。
根据我们关于词项“真的”的合理使用的惯例，我们断定如下这个(T)型的等价式：
（1）“S”是真的，当且仅当印在本书第90页第16行的句子不是真的。
另一方面，记住符号“S”的含义，我们直观地确立下列事实：
（2）“S”与印在本书第90页第16行的句子是同一的。
现在，按照同一理论的一条熟悉的定理（莱布尼茨定理），从（2）知道，我们可以将（1）中的表达式“印在本书第90页第16行的句子”用符号“S”代替。于是我们得到：
（3）“S”是真的，当且仅当“S”不是真的。
这样我们就得到了一个明显的矛盾。[2]
评析：我们说，A.塔尔斯基依据“同一理论”进行论证，但其失误恰恰在于其论证违反了“同一理论”。其理由是，要对一个句子进行判断，这句子，当然包括它的组成部分，应该是逻辑上在先的；而判断，相对于这句子及其组成部分而言，应该是逻辑上属后的。而塔氏的记法和论证，却使逻辑上在先的被判断对象与逻辑上属后的判断混而为一（“S”既表示被判断句，又表示判断句），这显然是违反逻辑先后律的，因此，塔氏的论证是非有效的。这里需要特别指出的是，违反逻辑先后律必然就要违反形式逻辑的同一律和矛盾律，因为逻辑上属后的东西不能同时又是逻辑上在先的东西。但值得强调的是，如果不首先确立逻辑先后律，就不能谈论违反逻辑先后律就是违反形式逻辑的同一律和矛盾律的问题。因为只有逻辑先后律才明确地把逻辑上在先的东西与逻辑上属后的东西区分开来，把它们认作是不同的东西，而不是同一的东西。换句话说，逻辑先后律是独立于传统逻辑“三律”的。
现在有一个问题，若把说谎者语句改写为“本语句是真的”，推理形式与原说谎者悖论完全相似，但“并不产生悖论”，试问，这样的推理是有效的吗？笔者的回答是：否。笔者非常赞同国际知名哲学家和逻辑学家苏姗·哈克(Susan Haack)教授关于解决悖论问题的如下观点：“努力的方向应当是，揭示出那些被摒弃的前提或原则是一种具有某些独立的——即不依赖于其导出悖论这一点而存在的——缺陷的东西。困难但重要的是，要避免那种看上去有而实际上没有说明性，而只是给出问题语句贴上'标签’的所谓'解决’。”张建军教授在他的书中引述了上段话之后，接着写道：“简言之，哈克为解悖方案的哲学说明所提供的合理性准则，就是要提供一种独立于排除悖论之诉求的充足理由。也就是运用哲学辩护，充分阐明一种解悖方案的'非特设性’或'非人为性’。” [3]笔者认为，本文提出的逻辑先后律就是一条既能解除悖论但又不只是因悖论问题而特设的原则。因此，对于“本语句是真的”，与说谎者悖论相仿的推理，仍是不被允许的，因为它同样是违反逻辑先后律的。鉴于此，甚至可以说，“'本语句是真的’并不产生悖论”的说法本身都是不合理的，因为认可这种说法，无异于认可其相应的推理是有效的。
2、关于强化的说谎者悖论（strengthened Liar paradox）的发生原因
评析：说谎者悖论的剖析方法，也适用于强化的说谎者悖论，故从略。
3、关于明信片悖论（postcard paradox ）的发生原因
假设明信片的一面写着：
在这张明信片的另一面上的句子是假的。
而在另一面又写着：
在这张明信片的另一面上的句子是真的。
关于此悖论的具体推理过程，如周知，故从略。
评析：笔者认为，该悖论发生的原因是由于违反了逻辑先后律：明信片的每一面都是对另一面句子的判断，因此对另一面的句子来说，都应是逻辑上属后的，但这是不可能的。
4、关于格雷林悖论（Grelling's paradox）的发生原因
语义悖论之一。1908年由格雷林(K. Grelling)与纳尔逊(L.Nelson)共同提出。人们把所有的形容词分为两类：一类是对自身适用的，如“中文的”，“短的”；另一类是对自身不适用的，如“英文的”，“红色的”。前一类词称为“自谓的”，后一类词称为“非自谓的”。现在问：“非自谓的”这一形容词是“自谓的”还是“非自谓的”？于是出现如下推理：由于“非自谓的”这个词本身也是一个形容词，如果假定它是非自谓的，那么，由于它对自身适用，按照“非自谓的”的定义，它就不是非自谓的；如果假定它不是非自谓的，那么它对自身不适用，从而按照“非自谓的”的定义，它就是非自谓的了。根据排中律，它或是非自谓的，或不是非自谓的，但两者都导致矛盾。
评析：格雷林悖论的秘密在于：在对所谓“所有的”形容词进行两分法分类时，从逻辑先后的顺序上讲，“非自谓的”一词尚不存在，事实上也不会认可它的存在，因为否则就不会有两分法的分类；在它被定义之后，即在它产生之后，却又把它当作形容词分类时的平常的形容词放入原来的论域中，然后进行“正常”的提问和推理。此一秘密，也即相当一部分悖论的秘密。总之，这些悖论的发生，都是违反了逻辑先后律。再强调一点，在该悖论的推导中，应用了排中律，但这是一种滥用，因为排中律并不具有绝对的普适性。在对待排中律的态度上，笔者决然支持直觉主义的观点。
5、关于贝利悖论（Perry's paradox）的发生原因
语义悖论之一。该悖论由英国贝利（G.Berry）1906年构造并由罗素发表。
考虑如下摹状词：The least integer not describable in one hundered or fewer letters （不能用100个或更少的字母描述出来的最小整数）。这个摹状词本身就是对该整数的一种确定描述，但是它的字母少于100个。如果说它描述了该整数，则导致矛盾；说它没有描述，这又与实际不符，因为这句话是一合式语句，并指出了那个整数的一种确定的特征性质，从而它描述了该整数。显然由此可以建立一个矛盾等价式。
评析：上述摹状词用的是否定的描述形式，单单这样一个孤立的摹状词的存在，人们将无法认定它究竟代表的是哪一个确定的整数。要使它真能代表某个确定的整数，唯一可能的解释是——存在着某个逻辑上在先的肯定形式的描述，而该摹状词就是针对该肯定形式的描述而言的。那我们就来看看这逻辑上在先的肯定形式的描述吧。
每一个整数都可用若干个字母的词描写出来。例如，36这个数可以描写为thirty-six（三十六）或four times nine(四乘九)。第一种描写用了九个字母，第二种用了十三个字母。描写任一给定的数都不止一种方法，但这是无关紧要的。现在把所有的正整数分成两组，第一组包括所有那些（至少有一种方法）可以用不多于100个字母描写出来的数，第二组包括所有那些不论怎样描写都需要最少101个字母的数。用100个或更少的字母只能描写有限多个数，因为用不多于100个字母最多只能有27的100次幂个表达式（而且其中有些是没有意义的）。于是在第二组中就有一个最小的整数。它可以用下列词组来描写：“the least integer not describable in one hundered or fewer letters.” （不能用100个或更少的字母描述出来的最小整数。）但是这一词组中的字母就少于100个。因此，不能用100个或更少的字母描述出来的最小整数，就用少于100个字母描写出来了。[4]
现在就很清楚了：摹状词“the least integer not describable in one hundered or fewer letters” （不能用100个或更少的字母描述出来的最小整数）是针对上述“第二组”情况而言的，因而是逻辑上属后的；而“第一组”和“第二组”的存在才是逻辑上在先的。贝利悖论的发生，并非由于摹状词“the least integer not describable in one hundered or fewer letters” （不能用100个或更少的字母描述出来的最小整数）本身有什么问题，而是由于在推理过程中违反了逻辑先后律，即把逻辑上属后的概念混同于逻辑上在先的概念。
6、关于理查德悖论（Richard's paradox ，有时也叫“理查德悖论Ⅰ”）的发生原因
语义悖论之一。法国的一个中学教师理查德（J.Richard）于1905年发现并公布了一个“可定义性”概念的悖论：令E是可用有限个文字定义的十进位小数组成的集合，并令它的元素按照字典顺序被序化为第1个、第2个、第3个等等；再令N代表这样一个小数，如果在E中的第n个小数的第n位数是m，则N中的第n位数或是m+1（当m不等于9时），或是0（当m等于9时）。这样，N就不同于E中的每一个元素，但它却已经被有限个文字定义出来了。因此，在集合和可定义性的通常意义下可得：N是E的元素，当且仅当，N不是E的元素。
评析：集合E的元素及集合E的定义是逻辑上在先的，而概念N的定义则要依赖于前者，是逻辑上属后的。理查德悖论的发生，在于它违反了逻辑先后律，即将逻辑上属后的概念N与逻辑上在先的集合E的元素混为一谈。
7、关于理查德悖论Ⅱ（Richard's paradoxⅡ）的发生原因
语义悖论之一。该悖论是与哥德尔不完全性定理的证明密切相关的理查德悖论Ⅰ的一种变体。
该悖论说的是：自然数的任一性质均可用有限长的语句加以定义，令所有这样的语句均被序化并加以编号。再令用来编号的数本身也是自然数，从而可以考虑每个编号数自身是否具有它所编号的性质的问题。如果作为编号数的自然数自身不具有它所编号的语句所表达的性质，则称它为“理查德数”，比如说，关于奇数的定义被编在第10号，则10便是一个理查德数；如果某个作为编号的自然数恰好也具有它所编号的语句所表达的性质，则称该数为“非理查德数”，比如将素数的定义编在第17 号，则17便属于非理查德数。如此，是否理查德数，也属于可用有限长的语句来描述的自然数性质之列。兹问，“是理查德数”这个性质的编号数n是不是理查德数？容易见得：
n是理查德数，当且仅当，n不是理查德数。
评析：此悖论的表述中出现了两种不同类型的“性质”，一是一开始说的“可用有限长的语句加以定义的性质”；二是后来所说的“每个编号数自身是否具有它所编号的性质的性质”。前一种性质是逻辑上在先的；而关于“理查德数”这一概念的性质，即“作为编号数的自然数自身不具有它所编号的语句所表达的性质”的性质，则要借助于前一种性质及其编号来确定，因而是逻辑上属后的。理查德悖论Ⅱ的发生原因就在于违反了逻辑先后律，把后一种性质与前一种性质相混淆。
8、关于罗素悖论（Russell's paradox）的发生原因
该悖论由英国哲学家、逻辑学家罗素于1901年提出。它说的是：一个集合或者含有自身（作为元素）或者不含自身。命一切不含自身的集合所成的集合为K（我们称之为罗素集），现在问，K含不含自身？若K含自身，即K是 K的元素，根据K的定义，其元素都不含自身，故K又不含自身。若K不含自身，根据K的定义，K又应该是K自身的元素，这样，K又含自身。这样说来，无论我们作怎样的假设，都会推导出它的反面，于是悖论发生了。
评析：罗素的“恶性循环原则”（这里指：“任何涉及到一个集合的整体的东西不能是这个集合中的一个元素”），只是本文逻辑先后律的一个推论。
罗素在提出他那著名的悖论时，犯了一个原则性错误，即他未加批判地把“集合分为含有自身（作为元素）或者不含自身的两类”。但事实是，谈论“一个集合是否含有自身（作为元素）”的问题，本身就是荒谬的。其理由是，对于任何一个集合A的构成而言，从逻辑上讲，都必须经历一个“逻辑上在先的”对其所可能涉及的所有对象进行检查的过程，以确定看其是否可以作为自己的元素。这就是说，这些需受检查的对象，它的存在相对于集合A而言，应该是“逻辑上在先的”，即从逻辑的次序上讲，“元素先于集合”（注：[美]保罗·贝纳塞拉夫和希拉里·普特南在其所编《数学哲学》的“导言”中的说法是：“集合的成员恒（在时间上）先于集合” [5]30；乔治·布罗斯在其《层叠集合观》[5]565、查尔斯·帕森斯在其《层叠集合观是什么？》[5] 588中也都坚持“元素'先于’集合”的说法）。
事实上，问题的提出本身就不合理。既然罗素一开始把所有的集合分为“含有自身（作为元素）或者不含自身的两类”，后来又把逻辑上属后的“罗素集”与逻辑上在先的“普通集”同等对待，请问这样以来，人们又如何确定罗素集到底是“两类集合”中的哪一类呢？若二者都不是，又何以能够把所有的集合分为两类呢？
罗素的解决办法是提出他的“类型论”。但笔者完全赞同如下观点：“罗素和怀特海称他们的规则为'类型论’，但问题是这些规则后面根本没有真正的理论，就像他们沮丧地承认的那样；对于为什么某些集合被允许而其他的不被允许，完全没有解释，除了说如果允许不被允许的那么系统里将会发生非常糟糕的事情。他们的形式系统是通过法令来达成一致的。” [6]
笔者认为，概括能力是人类智力的一种天性和本能，因此，对“概括原则”进行限制并不合理：不能因为出了罗素悖论就禁止罗素集的形成，这是很唐突的，这种解决问题的办法——特设性，即人为地禁令，并不符合解悖方案的通常要求。而本文的所有解释，都是基于一条“平淡无奇的”从而极易为人们所接受的逻辑先后律。鉴于以上原因，也可以说，对“概括原则”进行限制也是没有必要的。
笔者还认为，尽管罗素关于集合的分类表述存在问题，但事实上集合之间客观上毕竟存在有如下区别：①有些集合不再具有其元素所具有的性质，例如，自然数集合N就不再是一个自然数；②有些集合仍具有其元素所具有的性质，例如，“一切”概念所组成的集合就仍是一个概念。这时，我们可以把罗素集改述为“所有第①类的集合所组成的集合”，只是不应该再提出“罗素集到底是属于第①类集合还是属于第②类集合”的问题。
9、关于理发师悖论（Barber paradox）的发生原因
有个乡村理发师，在他的店里贴有一张告示：“鄙人只喜欢给本乡村中所有不喜欢给自己刮脸的人刮脸，而不喜欢给本乡村中所有喜欢给自己刮脸的人刮脸”。请问：理发师喜欢还是不喜欢给自己刮脸？
表面上看，似乎不管这个理发师喜欢还是不喜欢给自己刮脸，依据告示，均会陷入困境，从而产生理发师悖论。
评析： 我们说，概念的发生是有逻辑秩序的。但人们往往忽视了这一点，总以为任何不同的概念都是可以无条件同时并存的，从而给出一个一揽子的概念集合；再加上总是深信“凡事非是即否”，于是悖论就可能发生了。
关于理发师悖论，首先要弄清的是，全乡村人的两分法分类与告示的产生，究竟哪个逻辑上在先？从告示的字面上不难看出，分类是逻辑上在先的。若把告示写成条件句的形式，这点就更清楚了。所以应该说，把全村人分为两类是没有问题的，问题就出在告示的制定、发问和推理上。
应该说，理发师在制定告示规则时，是不自觉地没有把自己考虑进去，如若不然，即他真的想到了自己，那么，告示何以能够出台？又何以敢于出台，难道就不怕有人质疑吗？因此，在此假设（未把自己考虑进去）下，理发师自然会赋予告示规则以绝对的普适性。但后来，或许是自己意识到，或许是别人的提醒，又出现了告示规则的对象“还应包括”理发师本人的情形，而这样一来，全乡村人的两分法分类和告示规则似乎就变成了同时并存的东西。但实际情况是，若是坚持两分法的分类法，则告示规则就不可能具有绝对的普适性；若要使告示规则可行而不引发矛盾，就不可能存在笼统的两分法的分类。由于人们过分地相信排中律的普适性，忽视了告示规则是逻辑上属后的（其成立的前提是对所有对象的可行性），从而不合时宜地将一条对理发师本人来说属于悖理的人为规定应用于理发师进行“强行”推理，于是，悖论产生了。
笔者认为，所谓理发师悖论，纯属罗素为了对他的悖论进行通俗解释的一种极其人为的杜撰，其意义根本无法与“罗素的伟大悖论”（蒯因W.V.Quine语）的深刻性基础性相比拟。因此，人们把理发师悖论称作是罗素悖论的通俗版，是极不贴切的。关于理发师悖论，蒯因的说法是，“没有这样一个理发师。”[7]但是，以笔者之见，应该否定的不该是理发师这个人，而应该在告示方面：要使告示可行，就应该否定告示中对象包括理发师本人这样的含义；若告示中保留对象包括理发师本人这样的含义，就应该对整个告示予以否定。
10、关于康托尔悖论（Cantor's paradox）的发生原因
此悖论又叫“最大基数悖论”，是集合论悖论之一，1899年由康托尔(Cantor )发现。由康托尔定理，任一集合的幂集合的基数都大于原集合的基数，现在问：一切集合所成的集合U与U的幂集合P(U)，二者哪个的基数更大一些？由于P(U)是U的幂集合，依康托尔定理，P(U)的基数大于U 的基数；但由于U是一切集合所成的集合，它的基数不可能小于其它集合的基数，于是又有P(U)的基数小于或等于U 的基数。矛盾。
评析：如前所述，概念的发生是有逻辑秩序的，因而并不存在绝对意义下的“一切集合”这一概念，事实上它仅是一种只具有相对意义的方便说法而已。集合U与U的幂集合P(U)，前者是逻辑上在先的，后者是逻辑上属后的。康托尔悖论的发生原因，是由于违反了逻辑先后律，即把逻辑上属后的概念混同于逻辑上在先的概念，同时又错误地以为“一切集合”真有绝对的意义。
11、关于布拉里-弗蒂悖论（Burali-Forti's paradox）的发生原因
该悖论的具体表述，略。
评析：与康托尔悖论完全类似，不予赘述。
本文猜想，违反逻辑先后律，可能是逻辑-语义悖论产生的普遍原因。此猜想是否正确，可否作进一步地的推广，以及究竟在多大的程度上可以进行推广，是值得探讨的。虽然罗素的类型论和塔尔斯基的语言层次论都不是成功的解悖方案，但它们所含合理的思想成分都与本文所提出的逻辑先后律相吻合。鉴于逻辑先后律具有与同一律和矛盾律同样的普适性，因此，是否应该明确地将其确立为一条与同一律和矛盾律具有同等地位的思维原则，是值得学界讨论的。
参考文献：
[1] 吴东民．神秘的怪圈：悖论趣话〔M〕．济南：明天出版社，1995．
[2] A.塔尔斯基．语义性真理概念和语义学的基础〔M〕．参见[美]A.P.马蒂尼奇：语言哲学〔M〕．牟博，杨音莱，韩林合，等译．北京：商务印书馆出版，1998：90-91．
[3] 张建军：逻辑悖论研究引论〔M〕．南京：南京大学出版社，2002：33．
[4] [美]M.克莱因．古今数学思想（第四册）〔M〕．北京大学数学系数学史翻译组，译．上海：上海科学技术出版社，1981：290-291．
[5] [美]保罗·贝纳塞拉夫，希拉里·普特南．数学哲学〔M〕．朱水林，应制夷，凌康源，张玉纲，译．北京：商务印书馆出版，2003．
[6] [美]丽贝卡·戈德斯坦．不完备性——哥德尔的证明和悖论〔M〕．唐璐，译．长沙：湖南科学技术出版社，2008：62．
[7]涂纪亮，陈波．蒯因著作集（第5卷）〔M〕．北京：中国人民大学出版社，2007：9-10．
Causes of Paradox and A Thinking Principle
YANG Liu-sheng
(Shanxi Changan Normal School， Changan ，Shanxi 710100 ，China)
Abstract: By analyses taken to 11 notable logic-semantic paradoxes，this paper has found that generation of all these paradoxes can be explained by one rule，which is called “the principle that logic order cannot be confused”．It has been speculated in this paper that violation of the abovementioned principle may possible be the common cause in generating logic-semantic paradoxes．
Key words: Paradox,；Non-reliable Inference；Principle for Confused Logic Order