初中生为什么学不好平面几何？以及一些建议

这是写给普娃的初中数学学习指南系列文章的第七篇，也是公众号“世界重启”计划的第九篇。

初中生时期是思维发展的关键期和空间想象力质变的时期，也是中学生数学推理能力发展的转折点。此时对学生进行思维训练，对其整个中学阶段乃至一生的思维发展具有重要的意义。

平面几何是培养学生严格推理论证能力的最佳载体，平面几何的学习可以促进学生的思维由经验型抽象思维向理论型抽象思维发展。

但是，初中生对于平面几何的观感却很复杂。

很多孩子在预备年级学习几何时感到很有趣，对各种各样的几何图形表现出浓厚的兴趣。

可是到初一、初二，尤其是初二年级学习几何证明时，情形就大不一样了，他们就像是钻进了一个袋子，在一片黑暗中寻找证明所需要的方法，无所适从。

不少孩子在证明题证到一半时会突然束手无策，急得抓耳挠腮。

总会有这种困惑：老师的讲解我都听得懂，可我再单独做就不会了，是什么原因呢?

长此以往，很容易让学生形成学习几何的挫折感。

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平面几何的确难学，那么究竟是什么原因呢？

关于这一点，在数学教育界有众多的研究者给出了自己的结论。

总结一下，大概就是在几何计算和证明过程中：

由于图形的千变万化和复杂。

由于平面几何的公理、定理、性质较多，很多初中生对于相关知识体系的构建不得法。

使得学生在解题过程中面对复杂的局面，比如比较复杂的图形，比如通过旋转、平移、对称形成的复杂变化，容易形成认知障碍，难以抓住图形的本质和重点。

面对众多条件结论，对题目所给信息不能正确提取和重组，找不到解决问题的突破口而无从下手。

而大量的初中生对于平面几何的认知还处在从实验几何到论证几何的过渡期，拘泥于实验、测量的直观方法，而不习惯进行演绎推理。

对于平面几何的定理，学生容易受制于图形定势，不能从特殊到一般的理解定理。

同时对于三种语言——符号语言、图形语言、自然语言之间的转换不够熟练，无法有效的协调，导致理解题目的难度变高，也导致在从直觉、思路、证明过程的转化过程中容易出问题。

有些学生在做几何证明题的时候，会倾向于采取盲目搜索策略，采用单向推理策略，就是思路不够展开，不能广泛的拓展思路，也无法根据题目条件选择有效可能性更好的思路。

简言之，平面几何本身有难度，很多学生由于自身能力所限，或者是学习方法不到位，导致知识能力水平与题目难度不匹配，加之思考问题时不能多角度分析，最好呈现出来平面几何学不好的结果。

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以上是一些枯燥的理论性总结，具体在几何证明过程中，学生都会出现哪些错误，表现是什么样的呢？

我们举一些比较典型的错误。

虚假条件错误。

表现在没有看清题目的条件，无中生有，妄自使用，得出错误的结论。

比如题目中没有出现等腰，却直接用三线合一。

这种审题方式是学生不能建构出正确证明思路的原因之一。

因此要引导学生仔细读题，对所给的条件做相关标记，在准确理解题目意思的前提下学会如何根据现有的条件去寻找证题思路。

联想能力不够。

对于题目中的条件都能理解但无法融合，不能把他们相关联，由此无法有更深的进展，找不到合理的证明思路，使问题陷入僵局。

例如 ，看到等边的条件会想到等角，看到直角三角形斜边上的中线会想到它等于斜边的一半，但如何把它们进一步联系就一筹莫展了。

因此要使学生学会一题多解，并且比较不同解法的异同和优劣。通过此训练，领悟一题多法的思考原则，选择最简洁的证明方法，提高思维的简洁性、深刻性和多样性。

三种语言转换不到位。

表现在对相关定理、公理、定义的文字语言，几何语言，图形语言，三者之间不能够灵活转化，影响了对题目条件的理解、表达和使用。

所以在平时的学习中要加强文字语言、符号语言、图形语言的转换训练，根据条件画图，符号语言转文字语言叙述，利用这种方式来加强。

识图能力不强。

主要表现在学生不能从复杂的背景图中分离出基本图形。不能准确识别图形中所包含的基本信息，进而不能迅速找到证题思路。

所以要引导学生加强认图方面的训练，对于常见的一些模型可以着重进行针对性练习，但在此过程中，也要谨防学生形成思维定式。

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说实话，相较于代数，大部分学生对几何学习是有兴趣的。

大部分学生的能力也足够学习平面几何。

但为什么学不好呢？

很主要的一个原因就是缺少钻研精神， 不注重几何证明方法的归纳，不注意几何学习方法的总结等。

而学习方法的总结对提高学习效率有事半功倍的效果。

这些错误的综合表现就是：

这些错误其实最后都指向一个比较重要的欠缺——分析总结习惯欠缺。

学平面几何，一定是要反复分析总结的，只有这样，才能通过解题进行提高。

但不少孩子不善于从已做过的题目中提炼、总结出一般方法，所以题目尽管做得很多，换个说法，图形换个方向，或条件结论互换就无从下手，经常重复犯错。

针对这一问题，我们可以引导学生从不同的方面进行反思：过程反思、方法反思、知识点反思，以巩固良好学习习惯的养成。

学生在几何学习中常会出现许多错误，为了澄清学生的错误，凯斯认为一个有效策略是让学生有机会主动觉察自己的错误，造成本身认知上的不平衡，进而产生认知调整的需要。

所以我们可以要求孩子在听完课后及时总结，对当堂课的感受做及时记录，反思自己的收获以及不足。

也可以通过教辅资料的辅助，在解题的过程中反思不足。

反思不仅可以针对课内学习，同样可延伸到课后学习。

在拿到批改过的数学作业或数学试卷后，孩子可以从以下几个方面思考：

（1）过程反思

第一：思考知识点提取是否熟练：本题涉及到哪些重要知识点？题目特殊在哪里？

第二：思考方法是否熟练：用到哪种方法？证题思路是什么？为什么要用这种方法？不同方法之间的差异和优点是什么？今后遇到这类题又该如何解？

第三：思考存在弱点：此题为什么没证出？是审题不清、是作图不规范、还是自己对某部分知识不理解、亦或是三种语言转换不准确？

要总结其中的经验教训。将当时做错的原因和感受作概述。

对能够自己订正的题目，立即把正确解答独立书写出来，确保下次不再犯同样的错误。

（2）方法反思

证明方法的习得和思维能力的提高不能单要靠教师的训练，更要靠学生在长期的证明过程中自己去领悟、吸收和运用。

因此孩子们在解题结束后就要进行如下的反思活动:

对于独立解决的题目要思考，本题证明是通法还是优法，怎样做才能发扬优点并纠正不足？

我的思维活动中运用了哪些联想?

它们是如何被想到的?

我还能把它应用到什么情景中去。

要善于把题目归类，找出题目中共性的地方，用自己的理解来看待题目。学生从中总结解题思路，掌握解题的技巧和方法，结果达到事半功倍的效果。

（3）知识点反思

对于难度较大的题目，实在无法解决，听老师分析讲解后在试卷上注明是由于哪些原因造成的。

是运用知识不灵活，还是方法不熟练，发现后及时弥补。

关键的地方老师在课堂上都讲过，学生为什么记不住，可经过自己总结就记住了呢？

可能是平时老师包办的太多，而留给学生思考的时间太少，因为学生的错误大多是由老师先指出的。

建构主义观点认为学习是一个同化和顺应的过程，知识的掌握不是靠教师单纯地传授，而是依靠学生的理解、顿悟和反思。

教师讲解证明方法再清楚，但不经学生内化为自己的东西，对学生来说永远是一道无法逾越的墙，也阻碍了学生对几何学习的兴趣。

通过以上反思习惯的培养，使学生在几何学习中时时了解自己优势和不足，对于已掌握的便捷的证明方法，认真思考它的过程来源，思考与它相关的一类题解决策略，并了解自己在哪方面有欠缺，及时调整学习策略，真正达到提高思维能力和逻辑推理能力的目的。

END