2021泛美洲女子数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.有枚编号为的硬币围成一圈(不一定按顺序排列).我们进行如下游戏:
从编号为的硬币开始, 在每一步中,我们如果在编号为的硬币上, 就沿顺时针方向跳跃步, 例如下图的情况, 首先我们从编号的硬币处跳一步,到编号的硬币处. 随后我们顺时针跳四步, 到编号的硬币处, 接下来我们再跳步,依次类推......
求所有的值, 满足存在一种排列, 使得我们可以通过这个游戏, 跳遍所有的硬币.

2.等腰直角中, . 设直线为与中点的连线, 为以为直径的圆. 直线与圆再次相交于点. 求证: 过的圆与相切.

3.设表示实数集. 求所有函数, 使得对任意实数, 均有

第二天

4.露西亚将若干个位数相乘(不一定互异),得到一个大于的整数. 随后, 她将的各位数字相乘, 得到一个奇数. 求的个位的所有可能值.

5.塞莱斯特有种糖果, 分别为类型,类型,类型.每种都有无限颗. 首先, 他将枚糖果摆在桌面上, 排成一行, 随后的每一步中, 她在以下两个操作中任选一个执行:
她吃掉一颗类型的糖果, 并在其原有的位置上依次摆放一枚类型的糖果和一枚类型的糖果.(类型视为类型, 类型视为类型)
她选择两个位置相邻且类型相同的糖果, 并吃掉它们.
求所有正整数的值, 使得无论值如何, 无论初始时糖果如何摆放, 塞勒斯特一定可以在若干步之后, 吃光桌面上的所有糖果.

6.内心为, 顶点所对的旁切圆为.设与 和 分别切于点. 直线 和 分别与再次相交于点, 直线与交于点, 直线与 交于点, 取中点, 证明.