中考常见最值问题解法大全

中考中的最值问题，常常可以转化为求一个二次多项式的最值问题，也就是二次函数的最值问题。问题背景多样，最终都可以殊途同归。以下列举几种常见求最值问题的类型及方法。

【知识点】

初中常见的非负数有：

a²≥0，|b|≥0，√c≥0，

当a，b，c分别为0时取最小值为0．

常常利用二次函数的性质或配方法来求关于x的二次多项式ax²+bx+c的最值．

公式法：

二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为（-b/2a，(4ac-b²)/4a），

当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a．

配方法：

ax²+bx+c=a(x+b/2a) ²+(4ac-b²)/4a，

即当x=-b/2a时，y有最值(4ac-b²)/4a．

【题目类型分类解析】

一、常规题目一题多解

【例1】求y=-x²+2x+3的最大值．

解：

配方法：

y=-（x-1）²+4，当x=1时，ymax=4．

公式法：

y=-x²+2x+3的顶点坐标为（1,4），

所以当x=1时，ymax=4．

判别式法：由y=-x²+2x+3得，-x²+2x+3-y=0，

△=4+4（3-y）=16-4y，

因为x的取值范围是全体实数，

原方程必有实数根，

所以△=16-4y≥0，y≤4，即ymax=4．

二、复杂题目换元法

【例2】求y=

的最值．

【总结】分式型，展开各项

解：y=

，

令1/x=t，得y=-t²+2t+3，当1/x=t=1，即x=1时，y max=4．

【例3】求y=

（x≥1）的最值．

【总结】二次根式型，把被开方数看成整体

解：y=

，

令√(x-1)=t，得y=-t²+2t+3，当√(x-1)=t=1，即x=2时，y max=4．

三、基本不等式问题

高中公式：

a+b≥2√ab（a≥0，b≥0），

当且仅当a=b时，等号成立．

（说明，可以利用完全平方公式进行配方证明，分别把a与b看成整体的平方）

【例4】求y=x+1/x（x＞0）的最值．

解：

公式法：

根据基本不等式，得y=x+1/x≥2，

当且仅当x=1/x，即x=1（x=-1舍去）时，y=2．

配方法：

y=x+1/x=

，

当

，即x=1时，ymax=2．

【例5】求y=

（x＞0）的最值．

解：

公式法：

y=

．

配方法：

y=

，

当

，即x=√3时，ymin=

．

方法多样，根据题目得出的表达式结果，再选择恰当的方法。

【变式练习】

详情请参考《中考数学压轴题全解析》