【九上数学】一文搞定“圆”中最常用12条结论

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01

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

如图，AB是圆O的一条弦，CD是直径，如果CD⊥AB于点M，则AM=BM，AC=CB；如果AM=BM，则CD⊥AB，AC=CB。

02

圆周角与圆心角关系

同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

如图①②③，下面仅证明图③一种情况。

已知：如图，∠BAC是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角

求证：∠BAC=1/2∠BOC

证明：连接O、A与B、C，则△OAC为等腰三角形

则∠COA=180°-2∠OAC

=180°-2（∠BAC+∠BAO）

又因为均为等腰三角形

所以∠BOA+2∠BAO=180°

即（∠BOC+∠COA）+2∠BAO=180°

即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO）]+2∠BAO=180°

化简得∠BAC=1/2∠BOC

03

五等关系

同圆或等圆中，如果两个圆周角、两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距这五个量中只要有一组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。

04

直径（或半圆）

所对的圆周角是直角

直径（或半圆）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

05

相交弦定理

如图，圆O的两条弦AB、CD相交与点E，则AE·EB=CE·ED

06

切线垂直于

过切点的半径

圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的非圆心一端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

07

弦切角定理

切线与弦所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角。

如图，AB切O于点A，AC是O的一条弦，D为圆上一点，则∠BAC=∠ADC

证明：连接OA、OC，则OA⊥AB，即∠BAC+∠OAC＝90°

又因为在等腰△OAC中，

∠OAC=1/2（180°-∠AOC）

=90°-1/2∠AOC

所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°

即∠BAC=1/2∠AOC

所以∠BAC=∠ADC

08

切割线定理

如图，AB切O于点B，过A点的割线分别交O于点C、D，则AB²=AC·AD

证明：连接BC、BD，由弦切角定理可知∠ABC=∠BDA

又因为  ∠A=∠A

所以△ABC∽△ADB

所以AB/AD=AC/AB   即AB²=AC·AD

09

同一点做圆的两条切线

长度相等

如图，AB、AC均是O的切线，则AB=AC

10

平行线所夹得弧相等

如图，AB∥CD，则AC=BD

11

四点共圆

共斜边的两直角三角形共圆，如图①②

对角互补的四边形四个顶点共圆。

12

两圆连心线

垂直平分公共弦

如图，O₁和O₂的公共弦为AB，O₁、O₂交AB于点M，则O₁O₂⊥AB，AM=BM。