中考数学圆的证明与计算题型解析

初三数学:圆的经典练习题合集
类型一、切线的性质
【例题1如图,已知AB是⊙O的直径,P是AB延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,
过点C作CE⊥AB,交⊙O于点E,垂足为点D.
(1)求证:∠PCB=∠BAC;
(2)过点B作BM∥PC交⊙O于点M,交CD于点N,连接AM.
①求证:CN=BN;
②若cosP = 4/5 , CN = 5 , 求AM的长.
例题1图
【参考答案】
(1) 证明:如解图1所示,连接OC,交BM于点F.
解图1
∵PC是⊙O的切线,
∴OC⊥PC.
∴∠PCO=90°.
∴∠PCB+∠BCO=90°.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
∴∠ACO+∠BCO=90°.
∴∠PCB=∠ACO.
∵OC=OA,
∴∠ACO=∠BAC.
∴∠PCB=∠BAC.
(2)
例题1图
证明:
∵BM∥PC,
∴∠CBM=∠PCB.
∵CE⊥AB,
∴︵BC=︵BE.
∴∠BAC=∠BCE.
∵∠PCB=∠BAC,
∴∠BCE=∠PCB=∠CBM.
∴CN=BN.
解:
例题1图
∵BM∥PC,
∴∠MBA=∠P.
∴cos∠MBA=cosP=4/5.
在Rt△BDN 中,
cos∠MBA=BD/ BN=4/5,BN=CN=5,
∴BD=4.
∴CD=CN+ND=8.
在Rt△OCD 中,设OC=r,
则OD=OB-BD=r-4.
由勾股定理,得OC2=OD2+CD2,
即r2=(r-4)2+8^2.
解得r=10.
∴AB=2r=20.
∵AB是直径,
∴∠AMB=90°.
在Rt△ABM 中,cos∠MBA=BM/ AB =4/ 5,AB=20,
∴BM=16.
类型二、切线的判定与性质综合——双切线模型
【例题2如图,PB与⊙O相切于点B,过点B作OP的垂线BA,垂足为点C,交⊙O于点A,
连接PA,AO,AO的延长线交⊙O于点E,与PB的延长线交于点D.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若tan∠BAD=2/ 3,且OC=4,求BD的长.
例题2图
【参考答案】
解:
(1) 如解图1所示,连接OB,则OA=OB.
解图1
∵OP⊥AB,
∴AC=BC.
∴OP是AB的垂直平分线.
∴PA=PB.
在△PAO和△PBO中,
∴△PAO≌ △PBO ( SSS ).
∴∠PAO=∠PBO.
∵PB为⊙O的切线,B为切点,
∴∠PBO=90°.
∴∠PAO=90°,即PA⊥OA.
∴PA是⊙O的切线.
(2) 如解图2所示,连接BE.
解图2
在Rt△AOC 中,
tan∠BAD=tan∠CAO=OC/ AC=2/ 3,且OC=4,
∴AC=BC= 6 .
∵PA⊥OA,OP⊥AB,
∴∠PAC+∠OAC=90°.
∴∠ACP=∠OCA=90°,∠PAC+∠APC=90°.
∴∠APC=∠OAC.
∴△PAC∽△AOC.
∴ PC/ ACAC/ OC即PC/ 6 =6/ 4 .
解得PC=9.
∴OP=PC+OC=13.
解图2
在Rt△PCB 中,由勾股定理得,
∵AC=BC,OA=OE,
∴OC为△ABE的中位线.
∴BE=2OC=8,OC∥BE
.∴△DBE∽△DPO .
∴BD/ PD = BE / PO ,
类型三、切线的判定与性质综合——切割线模型
【例题3如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,
过B,C,D三点的⊙O交AB于点E,连接ED,EC,点F是线段AE上的一点,连接FD,
其中∠FDE=∠DCE.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若D是AC的中点,∠A=30°,BC=4,求DF的长.
例题3图
【参考答案】
(1)证明:如解图1所示,连接BD.
解图1
∵∠ACB=90°,点B,D在⊙O上,
∴BD是⊙O的直径.
又∵ ∠BDE=∠BCE,∠FDE=∠DCE,
∴∠BDE+∠FDE=∠BCE+∠DCE,即∠BDF=∠ACB=90°.
∴DF⊥BD.
又∵BD是⊙O的直径,
∴DF是⊙O的切线.
(2)解:
解图1
∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,
∴AB=2BC=8.
∵点D是AC的中点,
∴AD=CD=1/2AC=2√3.
∵BD是⊙O的直径,
∴∠DEB=90°.
∴∠DEA=180°-∠DEB=90°.
∴DE=1/2AD=1/2× 2√3=√3. (∠A= 30°)
解图1
在Rt△BCD 中,
在Rt△BED 中,
∵∠FDE=∠DCE,∠DCE=∠DBE,
∴∠FDE=∠DBE.
∵∠DEF=∠BED=90°,
∴△FDE∽△DBE.
∴DF/ BD = DE / BE , 即DF/ 2√7 = √3 / 5 ,
∴DF=2√21/ 5 .
类型四、三切线模型
【例题4如图,AB是⊙O的直径,AB⊥BD,AC与⊙O相切于点A,点E为⊙O上一点,
且AC=CE,连接CE并延长交BD于点D.
(1)求证:CD为⊙O的切线;
(2)连接AD,BE交于点F,⊙O的半径为2,当点F为AD中点时,求BD的长.
例题4图
【参考答案】
(1)证明:如解图1,连接OC,OE.
解图1
∵AB是⊙O的直径,AC与⊙O相切于点A,
∴∠OAC=90°.
在△ACO和△ECO中,
∴△ACO≌ △ECO ( SSS ).
∴∠OEC=∠OAC=90°.
∴OE⊥DC.
∴CD为⊙O的切线.
(2)解:如解图2所示,连接OF,AE,过点F作FG⊥BD于点G.
解图2
∵AB⊥BD,
∴∠ABD=∠FGD=∠FGB=90°.
∴FG∥AB.
∴∠ABF=∠BFG.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AEB=∠FGB=90°.
∴△ABE∽△BFG.
∴AB/ BF =BE/ FG .
解图2
∵点F为AD中点,O为AB中点,
∴OF∥BG.
易证四边形OFGB是矩形.
∴FG=OB=2.
∵AB是⊙O的直径,AB⊥BD,
∴BD是⊙O的切线.
由(1)知CD是⊙O的切线,
∴DB=DE.
∴∠DEB=∠DBE.
∵∠ABD=90°,点F为AD中点,
∴BF=FD.
∴∠DBE=∠FDB.
∴∠FDB=∠DEB.
解图2
又∵ ∠FBD=∠DBE,
∴△FBD∽△DBE.
∴BF/ BD=BD/ BE .
∴BD2=BF·BE.
BFaBDn.
∵△ABE∽△BFG,
∴AB/ BF = BE / FG ,
∴4/ a = BE / 2 ,
∴BE= 8 / a ,
∵BD2=BF·BE,
∴n2=a· 8 / a .
∴n2=8.
∴n=2√2( 负值舍去).
∴BD的长为2√2.
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