一课研究之“《用方向和距离确定位置》课堂实践与思考”（20210418）
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大家好，我是陈于青，来自浙师大附属义乌小学，是朱乐平名师工作站第18组的成员，很高兴能在“一课研究”微信平台上与您相遇！
本期内容有哪些
1. 听一听：理解的六个侧面
2. 做一做：《用方向和距离确定位置》课堂实践与思考
3. 想一想： 极坐标系的由来
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轻轻松松听听书
理解的六个侧面
——节选自格兰特·维金斯、杰伊·麦克泰格著《追求理解的教学设计》
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坚持阅读8分钟
《用方向和距离确定位置》课堂实践与思考
实践历程
1. 课前思考
2. 课堂实践
3. 课后思考
课前思考
1.学习的基础是什么？
“用方向和距离确定位置”内容的本质与“用数对确定位置” 一样，也是为了引导学生在初步认识方位，以及应用方位词描述物体所在方向和相互位置关系的基础上，进一步掌握定量刻画物体位置及其相互关系的方法。学生学习这部分内容的知识基础主要有三个：一是用东、南、西、北、东北、西北、东南、西南等方位词描述物体所在的方向及其位置关系，二是根据给定的比例尺进行图上距离和实际距离的换算，三是角的度量和按指定的度数画角。
2.知识的本源是什么？
从数学知识的本源看，“用方向和距离确定位置”是极坐标系的原型，是又一次对数形结合的深度体验，为今后学习几何与代数积累直观经验。
3. 教材如何编排？
北师大版教材用参观动物园描述各个馆位置的情境，引导学生从直观图逐步走向点的精准定量刻画，先辨析都在东北方向的两个点如何区别（方位+角度），再辨析区别同一方向的两个点方法（距离），最后综合分析平面上确定一个点的位置需要“方向”和“距离”两个要素。这样的安排契合学生的认知水平，顺应知识发展过程，但是也有缺憾：整个过程过于平坦，缺少挑战性；弱化了空间观念的培养；弱化了对知识内涵本质（数形结合的工具）的理解。
课堂实践
一
直观情境，激活经验
呈现情境——智慧老人带着“淘气、笑笑、奇思”来到公园玩寻宝游戏。你们玩过寻宝游戏吗？今天我们一起跟随智慧老人来“寻宝”。
问题1：图上的信息都能看懂吗？（重点反馈：“上北下南，左西右东”“比例尺”）
生1：公园的中间有一个喷泉。
生2：这幅图是按“上北下南，左西右东”的方向绘制的。
师：还有吗？这个100米是什么意思？
生：表示图上一小段，实际就是100米，因为公园太大了，只能缩小才能画在图上。
问题2：智慧老人藏好了宝箱，并给他们每个人提供了一条关于宝箱位置的线索，如果是你，你最希望得到什么线索？
生1：告诉我宝箱的位置。
师：那线索应该怎么写呢？
生1：标注宝箱所在的方位。
生2：告诉我们去宝箱的路线，先往哪边走几米，再往哪边走几米……
【说明】激发学生的兴趣和探究欲望，“寻宝游戏”是孩子喜闻乐见的游戏，一下子拉近了数学和孩子的距离；激活学生原有的知识经验，“方向标”和“比例尺”的解释以及宝箱线索的猜想唤醒方位的相关知识经验，扫除探究障碍，为后续的探究活动奠定基础。
二
问题导学，自主建构
1.解析单一线索
师：我们来看看，智慧老人分别给了他们什么线索？（课件逐一呈现）
核心问题：根据线索，你认为谁最有可能先找到宝箱？
师：你是他们，你根据线索会怎么找？先在脑中想一想，他们该往哪找？
师：谁来说说自己的想法，先说结论，再说理由。
生1：我认为奇思会先找到，他只要在距离喷泉300米的地方找，就是一个圆。
师：（停留几秒）看看是不是这样的？（课件动态呈现）
师：你们的空间想象能力太棒了！还有不同的想法吗？
生2：我认为笑笑最有可能先找到，因为她知道准确的方向，只要在一条线上找就可以了，比一个圆上找更快。
师：谁听明白了？“北偏东20°”是什么意思？怎么就只要在一条线上找了呢？
生3：“北偏东20°”就是北往东偏20°，就是一条直线。（学生纷纷点头表示赞同）
师：那我们一起到课件上看看，怎么找到“北偏东20°”方向，先找到北，再往东偏转20°（课件动态演示）。还真的是一条“射线”。
师：为什么没有人支持淘气？他也得到了有关方向的线索。
生5：不可能，他要找的是一大片区域，四分之一个公园。（生齐声附和）
师：你们的意思是这样吗？（课件动态演示）
师：刚才同学们非常了不起，充分发挥空间想象能力，每条线索都是有价值的，都缩小了寻找的范围，有的缩到了一块更小的区域，有的缩到了一个圆，有的缩到了一条射线上。
【说明】调整了学习材料的序——变从直观图形到定量刻画为从语言抽象描述到对应直观图形，指向了空间观念的培养，通过解析每一条线索，给予学生想象方向、距离线索所对应的图形的机会；提升了课堂活动的挑战性，根据方向和距离的信息想象图形有一定的挑战性，尤其是根据距离信息想象圆。通过一个核心大问题“谁最有可能先找到宝箱”引领，大任务驱动，板块式推进教学。
2.解析组合线索
师：刚才通过分析，每条线索都缩小了范围，但都还没有准确指出宝箱的位置，如果允许他们三人两两合作。
核心问题：哪两个人合作是最有利的？
师：先想想有几种合作的可能，再次发挥你们的空间想象能力，每种合作的结果会是怎样的？
课堂活动：独立思考——小组交流——集体反馈
师：谁先来分享一下自己的想法。
生1：我认为笑笑和奇思的合作是最有利的，奇思找的范围是一个圆，笑笑找的范围是一条射线，会相交成一个点，也就是宝箱的位置。
生2：还有两种合作，淘气和奇思合作，形成的是四分之一条圆线；淘气和笑笑合作，还是一条射线。
师：你们也是这样想的吗？让我们一起再想象一遍（边比划边说）。
师：让我们一起看看课件（动态演示），是否和你想得一模一样。
师：看来一共有三种组合，淘气和笑笑的合作，结果还是一条射线，对笑笑来说是无效的合作；淘气和奇思的合作，让范围缩小到一条四分之一的圆弧线上，是一次有价值的合作；笑笑和奇思的合作，居然把范围缩小到了一个点上，宝箱的位置就非常准确了。如果你是智慧老人，要写一条线索告诉他们准确的宝箱位置，该怎么说呢？自己先试试，和同桌说说看。
师：看来要说清楚一个点的位置，只要说清楚哪两个线索就行了？
生齐答：方向（准确的方向）和距离。（板书：方向、距离、确定位置）
【说明】进一步强化了空间观念的培养，通过解析每一种组合，让学生经历几次想象——观察——调整的过程；从直观到抽象全过程充分体验了用方向和距离确定位置的内涵本质，既是同时满足两个要素的“交点”。
三
实践应用，拓展延伸
1. 看图描述位置
师：今天我们研究了用方向和距离来确定平面上一个点的位置，你会了吗？试试看就知道了，要打开这个宝箱，还需要两把钥匙（课件出示），请你说一说钥匙的位置。
2. 根据描述图上找点
问题1：你能根据线索，在脑中找一找这几个宝箱的位置吗？
问题2：重要提示——有两个宝箱在同一个位置，是哪两个？
生1：我认为是2号和3号，方向和距离都一样。
生2：我不同意，“南偏西30°”和“西偏南30°”是不一样的。所以肯定不会是同一个点。
生3: 2号和4号是一样的，“南偏西30°”和“西偏南60°”刚好重合，是同一个方向。
（部分学生表示疑惑）
师：有这么神奇，让我们到图上来找一找，看看是否真的如此。（课件出示）
3. 角色转换出题
刚才都是老师出题，现在能不能给同学出出题？让大家来找一找，看看谁出的题目有水平。
【说明】一份材料，设计了三个层次的变式练习，有思维的正向和反向交替，有学生角色转换，让学生当出题人，充分发挥学生的主观能动性，同时选择有代表性的问题，集中在课堂讨论中加以解决，让学生在活动中熟练掌握用技能。
4. 拓展延伸
（1）材料：淘气和笑笑学完后，用今天的方法把学校位置表示出来了。
淘气：学校在东偏北45°方向，距离500米。
笑笑：学校在西偏北35°方向，距离800米。
问题：奇怪了，学校怎么会有两个不用的位置呢？你知道是怎么回事吗？
师：他们还真的都是对的，看来以后描述位置的时候，除了要说清楚方向和距离，还要说清楚……（学生齐答：观测点）
【说明】让学生深刻体会确定位置中参照物的重要性、位置的相对性。
（2）对比联通
我们在四年级的时候已经学过了用数对确定位置，今天我们又学了用方向和距离确定位置，两者之间有什么不同点和共同点？
生1：不同点用的方法不同，一个用列数和行数来确定位置，一个用方向和距离来确定位置。
生2：一个需要格子图，一个不用格子图。
生3：一个观测点在左下角，一个在观测点在中间。
师：刚才几个同学会观察也会思考，发现了它们的不同之处。那它们有相同的地方吗？（学生沉默）请仔细再看看它们确定位置的过程（动态演示）。
生4：它们都是由两条线形成一个交点的办法来确定位置的。
师：是呀！两种方法确定位置都用了两条信息，每条信息都代表一条线，交叉就会形成一个交点，这个发现非常了不起哟！你想过吗？为什么偏偏是两条信息？什么时候只要一条信息？什么时候需要三条信息？这个问题留给大家课后再深入思考。
四
课堂总结
这节课，你有什么收获？（略）
课后思考
（一）让知识回归本源
1.提供更大的数学背景
数学知识点（教材）本来就是从完整的数学知识体系中为了方便学习“切片”出来的，不能完全割裂地来看待，教学中应该给学生的学习提供更宽广、更深厚的数学背景。如果把这节课的教学目标仅仅定位在如何让学生学会用方向和距离来确定位置，那必然是不成功的。教师应该清楚“确定位置”不仅仅是为了生活中的“确定位置”，更重要的是为了数学上的“确定位置”，是数形结合的工具，是几何与代数的桥梁，课堂中必须让学生体会到这一点。
2.助推空间观念的发展
为了更好地助推学生空间观念的发展，本课例改变了教材中原来安排的认知序列，变为从抽象定量描述逐渐表征为直观图形的认知过程，其间经历了一个要素的解析——两个要素组合的解析，经过数次“想象——观察——调整”的完整过程，对每个要素的图形表征深入刻画。同时让深刻体验两个必要要素（方向和距离）形成一个“交点”确定位置的过程。
3.创造知识结构化的机会
用数对确定位置与用距离和方向确定位置分别对应的是平面直角坐标系和极坐标系。这两种刻画位置的方法， 既有不同点又有相同点：都要有原点、坐标轴等组成的参照系；都要用两个要素来刻画位置。在充分体验的基础上，让学生在最后的环节，对比联通两种确定位置方法的异同点，不但让学生再次深刻体会：在二维平面上确定一个点需要两个量来刻画，更让学生有机会把前后所学知识进行联系沟通，使之结构化，还向学生渗透了对比联系理解的思维方式。
（二）让学习自然发生
1.激活兴趣促进学习
“寻宝游戏”贯穿整节课的始末，这样的学习材料，直指学习内容的本质具有探究性，同时兼备极高的趣味性，拉近了数学与学生的距离，激活了学生学习的兴趣和探究的欲望，过程中还让学生进行角色转换，充分彰显主体地位，学习在学生“寻宝”活动中自然而然发生。
2.有层次地推进学习
学习一定不是一蹴而就，需要教师对学习的过程依据学生认知水平进行有层次的分解安排。本课例的主要学习进程为：唤醒经验——表征单个要素——表征组合要素——突破难点（一个方向两种表示方法、位置的相对性等）——拓展提升（抽象理解确定位置的内涵本质）等，把握知识本质，聚焦教学主线，有层次推进教学，取得良好的教学效果。
5
极坐标系的由来
第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线。书中创建之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴（x轴），其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如我们使用的极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。
由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了从直角坐标到极坐标的变换公式。确切地讲，J·赫尔曼把cosθ,sinθ当作变量来使用，而且用n和m来表示cosθ和sinθ。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确地使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。
有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：姚园、许小林