数学预习：内涵、意义与培养策略
“数学预习”的基本内涵、基本意义，提出了学生进行数学预习的基本要求，即：“数学预习”贵在自主、重在坚持、重在思考、应该灵活、需要合作。提出了中小学数学教师培养学生进行数学预习的基本策略：使学生树立正确的预习观念，掌握科学的预习方法，培养良好的预习习惯；设置合理的预习作业，引导学生以自主学习为前提独立完成预习作业；及时对预习情况进行反馈与反思。最后，对如何布置预习作业提出了9条具体建议。
数学预习：内涵、意义与培养策略
厉晨晨/台州市金清中学，马文杰 / 浙江省台州学院
1. 引言
数学预习是教师数学教学与学生数学学习的重要组成部分。近年来许多研究者对数学预习展开了研究与讨论，多数研究者认为预习作为教学的一个重要环节，在数学教学中占有重要的地位，并给出促进有效数学预习的一些教学策略，但也有一些研究者认为数学是一门具有一定特殊性的学科，“中小学数学教学不应该提倡预习，为了预习而预习更是不可取，对于数学教学而言，比起预习更重要的是课堂活动和课后复习习。”[1]除此之外，也有学者对数学预习进行了辩证讨论，赵大藏（2012）认为“课前预习做得就好可以培养学生的自主学习能力和探究能力，但是课前预习如果做得不好，就会有弊端，不利于培养学生的探究能力。”他在文中分析了数学课前预习的利弊，并谈及如何对数学课前预习进行调控。[2]张萍（2006）对数学预习的利弊进行了分析，并提出“预习先行组织者”的概念，认为通过预习先行组织者可对数学预习起到一定帮助。[3]
本文基于已有相关研究，对数学预习的基本内涵、基本意义、基本要求，以及在数学教学中培养学生数学预习的基本策略等方面内容进行进一步的研究。
2.数学预习的基本内涵
孙孜（2009）认为“预习就是预先学习，有时特指学生在教师讲课之前独立地自学新课内容。”[1]张萍（2006）认为“通常说到预习，一般是指教师布置给学生的任务，是必须超前进行的一种学习活动。”[3]陈欣欣（2018）认为“教师讲课要备课，学生上课更要备学，这也就是预习，是学习知识的一个重要环节”。[4]综合以上研究可知：数学预习是在教师进行课堂教学前学生采用适当的方法独立自主地对新知进行预先学习的活动。尽管在数学预习过程中，学生表现出较强的独立性与自主性，但也不排斥学生在数学预习过程中的合作与交流，以及教师对学生预习活动的适当引领与指导。
3. 数学预习的基本意义
3.1 数学预习可以促进学生的数学学习
唐建超（2018）认为培养数学预习能力对学生来说具有以下意义：（1）能够进一步培养学生思考问题的独立性；（2）能够提高学生的学习效率和课堂质量；[5]王浩（2018）认为数学预习能够提高课堂效率，帮助学生树立信心，提高学生自主学习能力。[6]赵大藏（2012）在其研究中指出数学课前预习具有以下有利之处：（1）课前预习，能够变被动学习为主动学习；（2）课前预习，能够培养学生提出问题和分析问题的能力；（3）课前预习，能够帮助学生拓宽知识面；（4）课前预习，能够培养学生自学的能力；（5）课前预习，能够提高学生课堂笔记的能力。[2]李志猛（2013）在文中提到预习有查漏补缺的作用。[7]贾明明（2015）则认为：（1）预习有助于习惯养成；（2）预习能够改变听课的被动局面；（3)预习能够增强听课的针对性。[8]陈静丽（2011）认为进行数学预习可以“培养良好的学习习惯”，“有助于了解下一节课要学习的知识点、难点，提高听课效果。”[9]
笔者认为数学预习对于学生的数学学习至少具有以下积极意义：
（1）有利于培养学生自主学习的能力，养成独立思考的习惯。数学预习作为数学学习的一个重要环节，有助于培养学生独立学习的能力，促使其养成独立思考的学习习惯等。
（2）有利于发挥学生的主体作用，提高学生的听课效率。在进行数学预习之后，学生可对新知的重难点有大致了解，并且明晰自己对这节课的困惑之处，带着明确的问题在课堂上有针对性地听讲，可以提高听课效率。
3.2 数学预习可以促进教师的数学教学
唐建超（2018）认为数学预习能够“加强教师对于教学知识点的侧重性。”[5]赵大藏（2012）认为“如果教师抓住学生疑惑的问题进行教学，一定会取得事半功倍的效果。”[2]笔者认为，数学预习有利于发挥教师的主导作用，提高数学课堂教学的针对性与有效性。学生进行数学预习之后，教师可以通过对学生预习情况的深入分析，进一步掌握学生预习相应新知的“具体学情”，了解大多数学生在预习中对于哪些数学内容已经顺利过关，存在的认知困惑主要集中在哪些数学内容上，出现这种预习现象的主要原因是什么，如何在数学教学中有效解决学生的主要认知困惑，等等。从而通过适当取舍与侧重，进一步提升数学课堂教学的科学性、针对性与有效性等。
在多数研究者充分肯定数学预习的重要价值的同时，也有部分研究者对数学预习可能存在的弊端进行了一定的分析。比如，孙孜（2009）认为数学预习抹杀了学生“经历与感受数学知识的发生、发展过程。”[1]赵大藏（2012）指出了5条课前预习对高中数学学习的有弊之处，认为数学预习不利于“经历知识的形成过程，学生的大胆猜测，教师的情景教学与预设”，“降低了学生的听课激情”，并“导致知识的负迁移”。[2]笔者认为，数学预习在其运用过程中可能产生的这些弊端，通过教师正确的引导，都是可以完全避免或化解的，正如赵大藏（2012）所言，对数学预习进行适当的调控，可以提高学生学习与课堂教学的效率。[2]采用恰当的方式进行数学预习，对学生的数学学习以及教师的数学教学具有重要的积极作用。
4. 数学预习的基本要求
（1）数学预习贵在自主。陈欣欣（2018）通过问卷分析得到结论：“大多数同学都有较好的预习态度，但预习主动性低。”[4]数学预习是课前进行的一项需要学生独立完成的学习活动，是一种需要学生自律的主动学习方式。教师在这个过程中只是起到一定的引领与指导作用，对每一个学生都有独立思考的基本要求。“有效的数学学习是学生自主探索、自主动脑、自主理解的过程，是自我学习、自我提高的过程。”（孔德龙，2012）[10]教师应当让学生自己掌握数学学习以及数学预习的自主权，以适当方式引导学生积极进行数学预习，提高其数学预习的主动性与有效性。
（2）数学预习重在坚持。数学预习是一个长久性的学习活动，若是一时兴起进行数学预习，其预习效果必定是微乎其微的。数学预习需要学生长期坚持，教师适当引导与督促。教师可通过预习方法引导、预习过程督促、设置预习奖励，以及进行预习效果评价与反馈等方式促进学生坚持进行数学预习。
（3）数学预习重在思考。在数学预习过程中，无论是学习新的数学概念、数学性质还是数学例题的解答，预习者都应该结合自己的数学学习基础与数学学习经验主动探索、积极思考。对于新的数学概念、数学性质，预习者思考是否能用自己的话语进行概括，是否可以理解课本的表述及其数学实质；对与之相关的例题、习题，预习者思考是否可以运用新的数学知识进行解决，或者初步理解课本上的解答。除此之外，预习者还应思考自己在哪些方面还有疑惑，并以适当方式记下自己的这些疑惑。
（4）数学预习应该灵活。现在许多教师已经意识到了数学预习对数学教学的重要性，因此在作业的布置中加入了预习这项学习任务。但是现在很多学生进行数学预习时往往就是简单翻阅一下书本，这样的预习流于形式、过于简单，对于学生的数学学习并无多大意义。在进行数学预习时需要注意预习方式的灵活性，采取灵活多样的方式进行预习。数学预习既没有固定的方法，也没有规定的动作，只要能达到预习效果，什么预习方法都可以尝试、都可以运用。
（5）数学预习需要合作。在进行数学预习的过程中，一个人完成或许会忽略许多问题，或者“遭遇”其一时难以克服的困难。通过师生合作、生生合作的方式可以促进数学预习活动有效进行。李志猛（2013）认为“对那些学习上有困难的学生在预习过程中要多肯定、多激励，并开展小组“结对子”的帮扶活动。”[7]张泳（2015）提到“合作学习小组的建立，就是一种交流方式，动手动脑的好办法。”[11]教师对于学生预习的指导、学生之间进行合作以及优生带后进生等方式对于学生进行数学预习都是非常有意义的，预习时通过与伙伴合作，可以集思广益，取长补短，解决更多有意义的问题等。
5.在数学教学中培养学生数学预习的基本策略
5.1树立正确的预习观念，掌握科学的预习方法，培养良好的预习习惯
（1）树立正确的预习观念
“观念是预习是否会最终流于形式的最直接影响因素，只有将课前预习的观念贯彻于学生的心中才能发挥预习真正的效果。”[6]从教师的角度出发，黄卫韶（2013）认为受教师教育观的影响，传统的以教师讲授为主的教学观仍旧难以改变，课堂教学多是灌输式，还是忽视了学生是学习主体的基本理念，从而导致课前预习难以实行；[12]从学生的角度出发，魏玉春（2013）在文章中提到“有的学生认为反正老师上课要讲，预习没有必要，而且浪费时间；也有的学生认为预习就是为了应付老师课堂提问，因而预习时只是看一看课本，浮光掠影，见难就退，不下真功夫。”[13]可见无论是教师还是学生在数学预习观念上都还存在很大的不足。因此树立正确的预习观念显得尤为重要，教师与学生都需要明确数学预习是改善学生数学学习的重要途径，促进教师数学教学的重要手段。教师需要明白数学预习是体现学生数学学习的主体地位的重要途径，从而从根本上改变教学方式，让数学预习真正融入到自己的数学教学中。学生正确预习观念的构建则需要教师的逐步引导与不断促进，教师可以结合具体的数学教学内容，讲讲数学预习的基本内涵与重要意义，数学预习的基本方法与具体策略等。
促使学生逐步明确数学预习的重要价值，逐步树立正确的数学预习观念，掌握基本的数学预习方法。并且通过学生“身体力行”的数学预习活动，引导其进一步感悟与理解数学预习的重要价值，体会与运用数学预习的基本方法，积累与总结数学预习的有效经验。
（2）掌握科学的预习方法
预习方法对预习效果起决定性作用，因此找到有效的预习方法是非常必要的。贾明明（2015）认为正确的预习方法应做到以下几点：“读”、“划”、“批”、“写”，其中“读”要求“先粗读后细读”，“划”要求“读后再用各种不同的符号将题目中问题划出来”，“批”要求学生“带着自己的看法、想法或体会进行预习，并不失时机的在旁边做上批注”，“写”则要求学生“将每章节、单元、某段的大意或对问题的理解和对知识的拓展适时的写出来”。[8]陈静丽（2011）[9]也给出“读”、“划”、“写”、“查”的预习方法，不同于贾明明（2015）[8]的是，陈静丽（2011）[9]认为“划”是“划层次，划重点”，在进行“写”这一步骤时可以自己编出变式，“查”即“自我检查预习的效果”。[9]孔德龙则认为预习有“列表格”、“动手实验”、“标记号”、“自我'测试’”、“质疑”等几种方法。[10]
在充分吸收以上相关研究[8-10]基本思想的基础上，笔者对数学预习的方法进一步概括如下：
①先浏览，后细究。对于将要学习的新知，可以先大致地浏览一遍，了解学习的主要内容是什么之后，再回头去细细研究。
②边阅读，边思考。在预习的过程中，不可一掠而过，流于形式，为了完成预习任务而去预习，不可遇到难点便打退堂鼓，应当在预习的过程中认真思考、主动探索。不论是数学概念，还是数学性质，都要尽可能地达到“知其然，知其所以然”。如果经过一定主动思考之后，在某些知识点上还有困惑，就应该做好标记，上课仔细听老师的讲解等。
③重基础，重理解。在进行数学预习的过程中，一定要重视基础性的内容，而不可好高骛远，只想着摘最高的那颗“果子”，导致底层触手可及的果子熟透掉落而腐烂于泥土，最终既没有品尝到最高的那颗“果子”，也没有品尝到基础的“甜果子”。对于基础性知识的理解是非常重要的，学生在预习的过程中必须要重视对基础性内容的“消化”与吸收。
④明重点，知难点。重点往往是学生需要掌握的核心知识，而难点往往对于真正理解所学知识具有直接影响。但很多学生所谓的预习就是粗略地浏览一遍学习内容，甚至念一句标题就当是自己预习了，而连预习的内容哪里是重点哪里是难点都不知道。有些学生可能会说：“老师，我预习要是什么都知道了，那我还学什么，我不就不用上课了！”非也，这里的明确重难点并不是指学生需要完全弄明白重难点，而是能够辨别重难点是什么，哪些内容需要自己重点关注，哪些内容需要自己重点突破等。
⑤探思想，学方法。探的是数学思想，学的是数学方法。每节课用到的数学思想和数学方法不尽相同，若是学生在数学预习的过程中可以发现本节课所用的思想方法，将本节课所学的数学方法吸收为己用，对于其终身的数学学习都大有益处。
⑥勤总结，常整理。无论何时，反思总是必不可少的，数学预习也是一样，学生在进行数学预习之后，需要对其预习过程作一个反思总结。可以总结数学预习内容，可以总结数学预习方法，可以总结自己所获得的数学预习经验，还可以进一步反思自己数学预习存在的问题，提出具体的改进措施，从而逐步找到适合自己的预习方式等。
（3）培养良好的预习习惯
除了需要具备正确的预习观念，能够采用科学的预习方法进行数学预习之外，良好的预习习惯也是必不可缺的，它有利于数学学科的学习，是培养自学习惯、提高自学能力的必要条件，因此必须十分重视良好预习习惯的培养。教师“要经常提醒学生，预习不要三天打鱼两天晒网，不要因作业多就挤掉预习的时间，要养成持之以恒的习惯，使预习成为学习活动的一个重要组成部分，帮助他们逐渐成为学习的主人。此外，为保证预习习惯的养成，教师要定期或随机检查。”[13]笔者认为，要养成良好的预习习惯需要做到以下几点：
①在学生预习的过程中，教师应扮演督促的角色，通过适当的检查促使学生养成良好的预习习惯；
②教师应设置适当的奖惩措施，对积极预习的学生进行适当表扬，从而进一步激发学生预习的欲望，对消极预习的学生进行一定的批评教育，促使其逐步认识到自己的错误做法；
③引导学生在掌握正确的预习方法的基础上进行预习，学生自然会体会到预习带来的好处，从而不会因预习效果低下而认为预习无用；④引导学生对自己提出明确的预习要求，制定具体的预习计划，持之以恒地进行数学预习，逐步养成良好的预习习惯。
5.2设置预习作业，引导学生以自主学习为前提独立完成预习作业
“预习作业是他们开展数学预习的重要载体。”[14]“预习作业就是引导学生预先学习的作业，它将学习要点拆解成若干个思考的'台阶’，以帮助学生开展有意义的预先学习，为课堂学习提供便利并展示其理解的过程。”[15]预习作业可以在学生预习的过程中起引导、铺垫、促进的作用，帮助学生进行预习，减少预习的困难。预习作业可以帮助学生发现自己在预习过程中没有发现的问题，从而回过头去将未理解的知识进一步理解。预习作业可以成为学生检验自己的预习效果的一项学习任务，并对其进一步理解知识点、明晰重难点具有直接的帮助。
预习作业的布置应重在数学学习引导、重在数学思维启发，重在数学四“基”，重在所学数学知识整体结构。在设置预习作业时，要注重其对于学生数学学习的引导性，注重其对于学生数学思维的启发性。除此之外，布置数学预习作业时不可忽略基础知识的应用，应当让学生通过预习作业学会基础知识、体会基本思想、掌握基本技能，尝试进行一些基本的数学活动。在学生进行数学预习的过程中，不仅要引导其重视数学知识的学习，更应促使其逐步构建一个相对完整的知识结构体系，这光凭学生的一己之力可能难以完成，因此教师在设计预习作业时应注重引导学生逐步构建所学数学知识的整体框架。为了引导、促进学生的数学预习，教师可以布置以下几类预习作业：
（1）根据教学目标，设置导向性问题类作业。学生在进行预习时难免存在困难，因此教师可以设置一些问题以引导学生的预习。例如在学习人教A版必修一《平面向量》一章中《平面向量的物理背景及其概念》这一节内容的时候，学生对于“向量”一词比较陌生，教师可通过设置相应导向性问题来引导学生对向量概念进行预习：①在阅读了书本内容之后，你知道向量的定义是什么？你知道向量和数量的区别吗？你能举出一些向量的例子来吗？②在理解了向量的概念之后，预习作业中应自然的过渡到“向量的几何表示”，可以设置如下导向性问题：我们常常说数量有其几何表示，你知道向量如何用几何表示吗？你能辨别向量与有向线段的区别吗？有向线段的三要素是什么？向量的大小又称什么？可以怎么表示？向量可以比较大小吗？为什么？③由向量大小及其方向的不确定性，预习作业中又可设置这样的导向性问题：你知道什么是相等向量，什么是平行向量，什么是共线向量吗？你能否列个表格表示它们的异同点？④最后还可以向学生提出以下问题：关于《平面向量的物理背景及其概念》这一节内容的学习，你是否还有别的疑惑呢？或者还有哪些问题想要进一步探究？等等。
“通过设置这样的疑问，使学生更容易进入思考状态，能够带着问题去预习教材内容，激发学生的求知欲，进一步提升学生学习的主动性和积极性。”[5] 通过设置这样的问题，可以有效引导学生迅速抓住教学的重难点，以便于更好地掌握相应预习内容，对其数学预习活动可以起到一定的引导与促进作用。设置导向性问题类作业时需要注意提出的问题要适当铺垫、注重启发，由易至难、逐步深入，引导学生拾级而上，逐步理解与掌握所预习的数学内容。
（2）根据教学内容，设置针对性问题类作业。学生在对书本内容进行预习之后，往往遇到相应数学问题仍会手足无措，因此在预习的过程中教师也可设置几道习题，帮助学生更好地理解与运用预习内容，并对自己的预习效果进行初步检验。设置问题类预习作业时要注重基础内容，突出重点内容，抓住关键内容，尽可能针对具体的数学教学需要和学生的数学认知特点，设计符合数学教学内容与数学学习需要的问题。
（3）善用思维导图，设置整体性预习作业。“教师在引导学生进行预习时，应当关注两个要点，一是复习巩固旧知，二是初步感受新知。”[17]思维导图可以更好地帮助学生对一块知识内容进行整体构建，使学生将旧知与新知融会贯通，进一步明确学习的大纲，从而有目的、有计划地去学习接下来的内容（即所要预习的内容）。教师利用思维导图设置预习作业可以从两方面入手：一是教师精心设计思维导图，学生根据具体的思维导图按图索骥地进行数学预习。教师在自己设计思维导图的过程中要注意学生对新知的接受度，在准确理解预习内容的基础上，根据具体的学习目标和教学要求，设计具有基础性、引导性与整体性的思维导图，以促进学生更有效地进行数学预习。另外，教师设计的思维导图可以是不完整的，可以在思维导图的适当位置专门留下一些“空缺”，引导学生在预习过程中通过填空等方式去发现、补充、完善，等等。二是教师布置让学生自我绘制思维导图的预习作业，使得学生对所学新知的整体结构与逻辑关系更加明确。如果是布置让学生自我绘制思维导图的预习作业，教师需要引导学生理解思维导图，教会学生绘制思维导图：“首先选择主要知识点确定为中央主题，然后以此为中心向外作分支，在主分支线上提炼出每一小节的关键词，若关键词下还有更小的分支，则重复上述操作。如果哪一小节自己不理解或有所困惑，可以在关键字附近用彩笔进行标注。”[17]这样的预习作业不仅可以帮助学生搭建一个整体的内容体系，还可以帮助教师明晰学生在预习过程中存在的疑问或困惑主要集中在哪些地方，从而在教学过程中可以更有针对性地帮助学生解决这些问题。
5.3及时对预习情况进行反馈与反思
（1）教师及时收集与评价学生的预习作业
“尽管每个人对教材内容的领会和理解程度各不相同，但预习的效果如何直接关系到教师教什么，怎么教，因此教师必须每课检查预习效果。”[9]在学生完成预习作业后，教师应及时收集学生的预习作业，认真查看学生的预习作业并进行深入分析与准确评价。通过检查学生的预习作业，教师可以了解学生的预习情况，发现学生在预习中“遭遇”的主要困惑 ，或其预习过程中存在的主要不足。教师可以在批改学生预习作业时对其进行适当评价，对于做得好的地方进行表扬，对于需要改进的地方给出建议，这样在学生收回预习作业时能够了解自己的预习情况，并根据教师评价不断改进自己预习中存在的问题。
（2）教师基于预习评价进行教学设计
通过对预习作业的分析，教师可以较全面地了解学生的预习情况。如发现大多数同学对某块数学内容掌握较好，甚至完全理解，在教学设计以及课堂教学中就可以适当弱化或一笔带过；如果发现某处知识点多数学生理解存在一定困难，或是多数学生对某些知识点提出疑惑，在课堂教学中就需要着重讲解，在大多数学生存在疑惑或理解困难的地方适当侧重与倾斜。除此之外，如果在分析学生预习作业的过程中，发现有些学生（非个别学生）在预习过程中出现一些教师未曾预料到的“特殊状况”，此时教师可以在深入分析这些“特殊情况”，及其背后的原因的基础上，进行更有针对性的教学设计，从而使得教学过程更加符合学生学情。
（3）教师在课前进行预习作业的反馈
“教师应当长期坚持对学生预习效果的检测反馈，鼓励预习中表现积极的学生，适度惩罚预习中敷衍塞责的学生，这样做对于检查预习效果和培养学生的预习习惯都十分重要。”[11]教师在课前应当对自己掌握的预习作业的完成情况做一个简单的反馈，比如说说哪些同学在数学预习中表现优秀，哪些同学在数学预习中表现一般，存在一定问题。通过对预习作业的分析发现大多数同学在哪些预习内容的理解与掌握上表现比较好，在哪些预习内容的理解与掌握上存在较多的问题。为了更有效地进行数学预习，需要在预习过程中注意哪些方面的问题，等等。及时全面的预习反馈不仅可以促进学生数学预习的积极性与主动性，而且可以使得学生对自己的预习效果有比较清晰的了解，也有助于其明确听课的侧重点等。
（4）引导学生对自己的预习进行自我反思
“反思是一门学问，只有真正会学习的人才懂得反思。”[5] “反思是人特有的一种心智活动，是一种积极的思维活动和探索行为。”[18]反思对于数学学习来说无疑是非常重要的，而对于数学预习来说，反思也是必不可缺的，“在设计预习学案时，要引导学生反思总结，通过预习培养学生勤于反思、善于质疑的良好的学习习惯。”[18]教师应引导学生养成预习反思的良好习惯，从而使得学生对于知识的体系构建能够逐步完善，并能够不断积累数学预习经验等。
另外在数学预习之后，学生还可以通过以下途径对其数学预习过程与效果进行反思。第一，教师对于学生预习作业会进行一定反馈，学生可通过教师反馈进行自我反思，发现自己预习的不足，并进行一定的改进；第二，学生在教师讲授新课的过程中结合自己的预习过程，发现预习中存在的问题并进行反思与改进，等等。
6.数学预习类作业布置的几点建议
对于数学预习类作业的布置，笔者有以下9条建议：
（1）预习作业要分课型选择。数学学科在教学的过程中存在不同的课型，有的课偏重于数学概念（可以称为数学概念课）、有的课偏重于数学性质与数学原理（可以称为数学性质课）、有的课偏重于数学例题与数学习题（可以称为数学解题课），等等。如果是数学概念课，可以布置记录性预习作业，引导学生在理解相应数学概念的基础上，对其进行适当的整理，以促进学生对相应数学概念的理解与记忆等。如果是数学性质课，可以设置导向性问题类预习作业、针对性问题类预习作业或运用思维导图，设置整体性预习作业，以促进学生逐步理解、初步运用相应数学性质。如果是数学解题课，可以设置针对性问题类预习作业或反思总结类预习作业，以促进学生对相应题目类型及其数学本质，解答过程所蕴含的数学思想方法进行初步的理解与总结，引导学生及时反思与总结其所获得的数学解题经验，等等。
（2）预习作业要有科学性。“学生学习数学的过程是一个循序渐进的过程，因此，教师要善于基于学生的原有认知为他们设计铺垫性预习作业，这样，就能引导学生在新、旧知识间建立起联系，发挥其抛砖引玉的功能。”[14]预习作业要符合数学学科特点，符合学生认知规律，能够促进学生数学学习。
（3）预习作业要有引导性。预习作业应注重对学生数学学习方法的引导，注重对学生数学思维的启发，有效促进学生对相应数学知识的理解、掌握与运用。
（4）预习作业要有基础性。数学预习作业要符合数学课程标准与数学教材内容的要求，并以基础题为主，难度适当，题量适合，不能加重学生课业负担。
（5）预习作业要有针对性。“教师设计问题要同时针对教材内容的特点和学生的特点，使学生在通过思考、解决这些问题的过程中能对本节课的重难点有所突破，进而领悟到本节内容的实质。”[16]预习作业应当针对教材的具体内容、学生具体学情以及教学需要等进行精心设计。
（6）预习作业要有趣味性。“兴趣是激发学生行为的主要动力， 只有学生对学习活动感兴趣，才会愿意投入时间与精力。”[19]预习作业需注重趣味性，如在设计预习作业时尽可能地联系实际或是采用创设有趣的情境等方式来促进学生数学预习的积极性与主动性。
（7）预习作业要有操作性。所设计的数学预习作业要可操作，行得通，并能激发、引导与促进学生的数学预习活动。数学预习作业应该要求明确，注重基础、难度适宜、题量适度、引导得法，可以有效促进学生的数学预习活动。
（8）预习作业要有层次性。学生之间的数学学习基础、数学学习能力以及数学学习需要各有差异，教师可以设计不同层次的数学预习作业供学生自主选择，引导学生根据自己的数学预习需要选择适当的数学预习作业。数学基础较差的学生可以做较为简单的基础题，力求数学基础过关；对于基础较好的学生可做综合性稍高、有一定探索性的题目，注重数学思维提升，等等。
（9）预习作业要有变式性。教师在设计预习作业时，对于同一个数学主干内容，可通过适当变式的问题逐步突出其本质特征，促使学生对相应数学知识的理解更加全面、深刻，对预习问题所蕴含的数学知识能够更灵活地运用等。
7.小结
数学预习是数学学习的重要方式。对中小学数学教师来说，应当重视数学预习，在数学教学过程中逐步帮助学生树立正确的数学预习观念，教会学生正确的数学预习方法，培养学生良好的数学预习习惯。对中小学生来说，应当在建立正确数学预习观念的基础上，逐步掌握数学预习的基本方法，认真完成教师布置的预习作业，并通过不断反思逐步总结与积累有效的数学预习经验。
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