中考数学压轴题分析：等腰翻折产生中位线

本文内容选自2021年常德中考数学压轴题。题目以等腰三角形为背景，涉及相似与中位线有关的问题，值得学习。

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【中考真题】

（2021·常德）如图1，在中，，是边上的一点，为的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：；
（2）在图1中上取一点，使，作关于边的对称点，连接、、、、得图2．
①求证：；
②设与相交于点，连接，求证：，．

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【分析】

（1）先根据平行与中点，得到AT=CN，再根据AT=BN得到结论。

（2）①证明相似，则需要证明角度相等。可以发现两个三角形均是等腰三角形。先考虑证明△OAT≌△OCM（SAS），进而得到两个三角形对应边成比例。但是如何证明夹角相等呢，只需证明∠AOT=∠COM即可，也是根据前面的全等得到结论。自然就搞定了。

②需要证明这个结论，相当于证明P、D分别为两边中点，也就是说PD为△CTM的中位线。点D已知是中点，那么只需证明点P为TM的中点即可。

由于AT与OM平行，那么我们可以考虑一个8字型的全等，得到结论。

如上图，假设AC与OM交于点E，那么易得△ECM为等腰三角形，则EM=AT，进而得到结论。 
【答案】证明：（1），
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
；
（2）①，，
四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
，
点，点关于对称，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
；
②如图2，将绕点顺时针旋转，使点落在点上，连接，，

，
，
，
，
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
又，
，．