中考数学压轴题分析：以圆为背景的几何求值问题

本文内容选自2021年北部湾中考数学几何压轴题，题目是以圆为背景的几何值问题，求比例则关键在于转化，特别是转化为相似。

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【中考真题】

（2021·广西）如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．

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【分析】

（1）利用角度的关系证明∠ADC=90°即可。

（2）遇直径则考虑连接构造圆周角，得到直角三角形。本题只需连接DF，再利用相似即可得到AF与EF的长，进而得到结论。

（3）求比值的常见方法是转化为相似三角形。

如图：

连接MN、MF，易得MH的长度，再证明△MNH与△HBA相似进而得到结论。

当然，还可以考虑用如下的方法：

利用（2）的结论，可以得到AO、OH与AH的长，进而得到AH边上高OP的长。再求出AN即可。

【答案】

（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）连接，如图：

是的直径，
，
是的切线，
，
，
又，
，
，
，，
，
解得或（舍去），
在中，，
；
（3）延长交于，连接、，如图：

是直径，
，
，
，即，
，，
，，
中，，
，，
且，
，
，
即，
，即，
解得，
平分，，
，
，
，
，
在中，，
而，
且，
，
．