求直角三角形斜边长度的经典几何题，辅助线的构建很重要

这是一道求直角三角形斜边长度的经典几何题，在中考题中会经常出现，很多同学看到后对辅助线的构建不是能够很准确地把握，导致后面做不下去，既浪费时间又不能得到正确的答案，真是可惜了。

请看题目：

直角三角形ABC，CA⊥BA，

D、E分别为两条直角边上的两点，

AD=8，BD=4，CE-AE=3，

M是斜边BC上的中点，

连接EM和DM刚好形成EM⊥DM，

求斜边BC的长度是多少？

要求斜边长度，一般的思路就是求出两个直角边，然后运用勾股定理定理来求得。在此题中，已知直角边AB长度，那么就要求出AC的长度。中点M是个突破口，一般的同学都会去连接AM，但这样的话容易走进死胡同，后面就不好做下去了。所以要另辟蹊径，不妨延长EM试试看，利用中点的特点去构造两个全等的三角形，然后再通过中点和垂直的特性获得一个等腰三角形，最后通过方程求得AE长度，也就知道了直角边AC长度。

不知道大家还有没有更好更妙的方法呢，欢迎留言评论，期待您的精彩思路！

ADME共圆：AM*DE=AE*MD+ME*AD……(1)

Rt△ABC∽Rt△MED：ME/AB=MD/AC=DE/BC

记AE=x、DE=a、BC=b，

则AC=2x+3、AM=b/2、

ME=12a/b、MD=(2x+3)a/b

代入(1)有：ab/2=(2x+3)ax/b+96a/b

b²=2(2x+3)x+192

又b²=(2x+3)² +12²，解得x=13/2、b=20

做法与此差不多，不过我没有用相似△，直接用的割线定理。答案也是20。

三角形ABC相似于三角形MDE？凭什么？

△AMC等腰：∠C=∠CAM

ADME共圆：∠CAM=∠MDE

哦，连接AM，等腰三角形，同弧上的圆周角相等。

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连接三角形三个边中点，可以求出与中间直角三角形有相交的不同边部分小的相似直角三角形，依题意可以求出一个边是1.5和6，同理求证出另一个边为2和8，反推出大直角三角形俩边长度为2/6和2/8，即边16和12，斜边等于20。

朋友，答案正确！但用同理求出另一直角三角形两直角边，不妥！而要用两小直角三角形相似求出！

同理，也是指相似三角形比例哦。

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过点M分别作MF∥AC干F、MN∥AB于N，则FM⊥NM，NM=6，FD=2;∵AC=2AE+3，∴AN=AE+1.5即EN=1.5;则MF/2=6/1.5→MF=8，则AC=16;直角△ABC勾股定理3、4、5，∴BC=20。

过M往两直角边做垂线，利用三角形相似可秒解

EM 2倍延长，构造全等，勾股定理，求出答案20

设AE＝x，同余弦定理算出ME和MD，最后ADME四点共圆，用托勒密定理列方程，解出AE。

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在双直问题中，常用双垂直或三垂直模型，隐圆等。用小写字母表示线段的长度，更容易表达线段之间的数量关系。

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RT△斜边中点，双等腰△，CE上取CF＝AE，取EF中点，作MN⊥AB。由四点共园得桐似△可求AF＝8，MF＝6，AM＝l0，BC＝20

确实做错了，设EF的中点为P，∵CF=AE∴P为AC中点，PM∥AB且PM=AB的一半=6，

∵AB⊥AC∴PM⊥AC

∴MF>MP=6，

∴MF=6这结论肯定错误

延长EM到F，使MF=EM，连接DF、BF。由三角形cFM全等于三角形BFM，得cE=BF，而三角形DBF是Rt三角形，易得DE=DF。设AE=X，则cE=X十3，在Rt三角形AED中，X^2十8^2=DE^2，在Rt三角形FBD中，（X十3）^2十4^2=DF^2则X^2十8^2=（X十3）^2十4^2，解得X=13/2，所以Ac=2X十3=16，故Bc^2=16^2十12^2，即Bc=20。