漫谈电路、信号处理中的“虚部”

原    创

为什么电容、电感的阻抗表达式要用虚数？
为什么在傅立叶变换中要有虚数？
为什么在滤波器的传递函数中会出现虚数？

最初遇到“虚数”的概念是在高中数学中，我大概将它看成一维（实数）到二维的扩展。书上也就是画成两个坐标轴来表示复数嘛。那么，为什么只有一个虚数单位i, 没有再定义一个更高级的复数来描述三维空间呢？从来没想过。

大学学了高等代数，补充了复数域，多项式这些知识后大概知道为什么要发明出复数来补充实数的不足了。至于维数的扩展，也不是复数的用途。再后来，学了傅立叶变换之后，我对为什么要用复数来表示信号仍然没有理解。数学上这没有问题，数学是对世界的一种描述，是抽象出来的，又如直线、空间等等概念也是抽象出来的。但现实世界里面的物理量，电流电压都是实际存在的，哪来的虚部呢（别扯到量子物理，不在电子工程讨论范围）？ 更后来修《小波分析》课的时候，有个同学在课间问了这个问题，老师说的是“采两个信号”的意思。可是，毕竟复信号和二维信号不是一个处理方法呀。

自学了些电路基础，我才发现在电路里面用虚数是提供了很大的方便。如果不用虚数，就没法对电容、电感使用欧姆定律了。

借用了虚数，将电感、电容中的电抗成分（就是和纯电阻不一样的那个交流特性）计成欧姆单位

然后，欧姆定律、戴维南定理等等都可以照样用了，甚是方便，只不过把电压、电流也要换成复数了。

什么，电压能有个虚部？示波器能看到这个虚部吗？
反过来看，若不引入虚数的话，怎么处理电路中的电感和电容呢？那必然是要使用微分方程、积分方程来表达电压和电流的关系。的确不方便啊，求解稳态电路这样就费太多工夫了。借助拉普拉斯变换工具，看输入和输出关系的话，就又出来虚数了。

交流电是随时间变化的，若用正弦函数来表达，u=Asin(ωt+θ) 就包含了幅度、频率和相位三个量。电容和电感会改变交流电的相位，因此在分析频率特性的时候，仅用幅度描述是不够的。虚数因为可以表示为幅值和相角的形式，刚好可以刻画交流电输入和输出的关系。

说到底，这还是一个数学工具在解释世界。正弦波就正弦波嘛，一定要虚数么？Euler公式

看起来很漂亮，但是对交流信号，那个凭空整出来的虚部又是什么意思？电场能是实部，磁场能是虚部？不对。

毕业数年以后，我对这个疑问的解释是如下这样：

世界有两种最基本的运动形式：一种是匀速直线运动，一种是匀速圆周运动（转动）。转动就有了半径、周期。如果认为匀速直线运动是一种恒定状态，那么匀速转动也属于恒定的——周而复始，你只要知道了它的无限短的一段时间的运动，就能知道它的过去和未来。
也就是说，一个单一频率的信号是可以用一个恒定转速的圆周运动来代表的。

在平面上看这个圆周运动，它的轨迹是一个圆。

如果增加一个时间维度，想象一下，看起来是什么样子？

一圈一圈的螺线，对了吧，沿着时间轴方向的。
再侧过来一些看，更清楚一点：

再换个角度：

当垂直于时间轴去“看”这个圆周运动的时候，看到什么呢？

正弦型啊！ 换个角度也可以看到是这样的：

注意，正弦函数的相位发生了变化。

当我们观察到一个正弦形的信号（电压、电流，也可以是其它的物理量），所观察到的认为是它的实部。假设（用脑补一下）这个信号其实是一个在转动的信号，它还有一个对应的虚部看不见。 正弦信号经过一个线性系统（黑盒子）出来之后，除了转动半径（幅度）可能发生改变外，转角也会发生偏移，于是被我们观察到的波形也产生了相位差。随着我们观察角度的不同，初始相位也可以不同，但是输入和输出的相位差是稳定的。

总结：能够被观察到的信号是实的，然而在补充了一个不存在的虚部之后，信号从来回振荡的形式变成了更简单更基本的圆周运动。复杂的信号也可以分解为很多乃至无穷多个圆周运动的叠加，我们总是从某个固定的角度去观察的。在描述两个同频的圆周运动的相对关系（比如输入和输出）时，使用虚数可以更方便地表达幅度和相角的差异。