2020年天津中考数学第21题评讲

2020年天津中考数学第21题评讲

原题

在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63º．

（Ⅰ）如图①，若∠APC＝100º，求∠BAD和∠CDB的大小;

（Ⅱ）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．

解答

（Ⅰ） 把∠APC看作△ PBC的一个外角，则∠APC＝∠ABC＋∠BCD．

∴∠BCD＝37º．

根据同弧所对的圆周角相等，得∠BAD＝∠BCD＝37º．

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90º．

∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC．

∵∠ADC＝∠ABC＝63º，

∴∠CDB＝27º．

（Ⅱ）如答图，连接OD．

依切线的性质定理，得∠ODE＝90º．

∵∠BCP＝90º－∠ABC＝27º，

依圆周角的性质，得∠EOD＝2∠BCP＝54º．

∴∠E＝90º－∠EOD＝36º．

考点

三角形的外角；

同弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是直角；

直角三角形的两个锐角互余；

切线的性质定理；

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

评析

这是一道很好的考题，牵涉到的知识点较全面，难度适中．

在第２问中，连接OD是关键．一般地，如果圆的切线有给出切点，要优先考虑连接圆心与切点．