从一道“超标”小题谈起

王桥

平常做题中，经常会出现一些题目，让我们很纠结——练还是还是不练？讲还是不讲？怎么练或者怎么讲？譬如近几天在一轮备考研讨会群里老师们讨论的这道题：

如图，线段AB=4，点C是线段AB上一动点，分别以AC、BC为边在AB同侧作正△ACD和正△CBE，⊙O是△DCE的外接圆，则⊙O的半径的最小值为 .

这道题目，对于学生来说，需要突破的难点有以下几个：

1、动点恐慌——点C时动点，导致D、E两个点也是动点，即△CDE的大小形状及均不确定！——请参阅《冲刺十招》第9招“搞定动态问题”

2、最值恐慌——几何最值本来就是中考中的难点，而这道几何最值题貌似暂时不能套现成的几何最值模型！——请参阅《春季攻势》第17讲“几何最值”

3、辅助圆恐慌——辅助圆本来也是难点，而这里的圆又是不确定的！——请参阅《春季攻势》第13讲“圆与隐形圆”

不确定的点——不确定的三角形——不确定的圆——最终要求确定的一个最值.....

首先，洛阳的数学高手李景国主任提出了一个基本思想——极端化思想。

在点C从点A向点B运动的过程中，有三个特殊点：点C和A重合、点C为AB中点、点C和点B重合；再根据对称思想，在中点C的左右两侧，必有两个对称的点C的位置，他们是对等的。而最值往往是唯一的。据此，即可大致判断当点C时AB中点时，半径最小。

此时，正△ACD≌正△CBE≌正△DCE，其边长均为2，圆心O为正△DCE的中心，则易求得⊙O的半径为OD=OE=2√3/3.

对于一道选择或填空题，在分秒必争的考场上，灵活运用“极端化思想”，自然能够起到“秒杀”的神奇效果。虽然这种略有“投机嫌疑”的做法不值得广而告之的大面积提倡，但有时候往往却很有效！其实，纵观整个数学史，许多美妙的数学结论也是在极端化特殊化的偶然性和一般化的必然性自由切换而得出的啊——这也是咱《冲刺十招》第一招讲特法的初衷之所在。

极端化思想虽然做起来很爽，但是心里面未免还是很有点忐忑的。那么，有没有通性通解通法呢？

老王当时是这样理解的：

观察到△DCE中，∠DCE是定角60度，且DC和EC的长度为定值4，显然DC和EC的长度是互为一次函数的关系的，容易联想到运用余弦定理即可建立起DE的长度与DC和CE的数量关系，而根据正弦定理即可建立起DE和△DCE的外接圆半径的关系。不妨设CD的长为x，CE的长为4-x，则有：

这种方法虽然很严谨，但是未免有“超标”的嫌疑！正弦定理和余弦定理都不是现在初中的教学内容啊？能否用纯初中的方法证明呢？虽然，我们可以用纯粹初中的方法再证明一下正弦定理和余弦定理，但是肯定是有点得不偿失的。

如果借助几何画板的工具，我们很容易发现，在点C的移动过程中，△DCE的大小和形状虽然在改变，其外接圆大小也在改变，但是其圆心O的位置不变！

为什么圆心O的位置不变呢？这个确定的不变的位置在哪里？能否从这个确定的位置当做突破口呢——此时只需判断出何时圆最小即可?

因为△DCE的外接圆的圆心必为三条边中垂线的交点，即圆心O必为CD和CE中垂线的交点！但是CD和CE的长度和位置不确定啊？而△ACD和△BCE均为形状及位置固定的正三角形，则DC的中垂线必为∠A的平分线，CE的中垂线必为∠B的平分线，则△DCE的外心必为∠A的平分线和∠B的平分线的交点——定点！

位置定了下来，那么什么时候这个外接圆的半径最小呢？

哈哈，这个好办，外接圆的半径不就是OC吗？点C在AB上运动，点O为定点，根据垂线段最短的性质，显然只有OC⊥AB时，半径最小。这个半径的最小值就是前面所求的2√3/3。

至此，这道问题运用纯粹初中的方法得以圆满解决！但是这种方法确实有点小众群体！

作为老师，我们可以用正余弦定理、可以用几何画板，但是孩子们考场上能用吗？如果我们习惯了用这种思维去解题，而美其名曰是为了“拓展知识”“拓展思维”，这样就会陷入小学老师去讲初中知识，初中老师去讲高中知识，高中老师去讲大学知识的追求提前下放高学段知识的军备竞赛似的教学死循环中，表面上学生是很“佩服”我们老师的“无所不知”“无所不能”，实际上是不专业的人去做专业的事的越俎代庖行为，更是加重学生负担而又杀鸡取卵的短视行为；如果我们习惯了借助工具去解题、讲题，而美其名曰是为了更“形象生动”、“提高效率”，就会形成依赖教学工具命题和解题的误区，一味的用工具代替学生的思维不仅无益于学生解题能力的提升和思维锻炼，更是欺负小孩纸的“只需州官放火不许百姓点灯”的“不讲武德”行为！

这一段，各地正在进行着中考前的模拟考试，其中不乏一些神题。如果上面的那道题算有“超标”嫌疑的话，那么下面的这道题目“超标”的嫌疑就更大了！这道题目也是前一段有个老师问的，当时没有时间或者不方便，今天突然想起来，就一并分享给大家。

例2、如图，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上一动点（不与B、C重合），连接PA、PB、PC，已知⊙O的半径为4，求图中阴影部分周长的最大值。