重庆市第一中学高2022届9月月考第21题：轨迹方程
渐一番风，一番雨，一番凉。还有什么比“水梭花”更令人惬意？“水梭花”即鱼的另一种说法，以荤饰食名。滚烫的鱼，寒冷的夜，颤动的舌尖刺激着味蕾，按捺不住的感觉，妙不可言。我已分不清冷暖，也分不清曲线方程。也许曲线就是方程，方程就是曲线。曲曲线线，方方程程，绕来绕去，什么才是真谛？其实你未必在乎真谛，也未必需要逻辑，顺水推舟能放逐到什么境地？也许都不是，而是无法掌控的现在，无法预知的未来。过去浑浑噩噩，现在继续蹉跎，还能剩下什么？还剩下躯壳，剩下罗嗦，还有不合时宜，还有不知所措。坚持，没勇气；放弃，不甘心；明白，做不到；糊涂，嫌烧脑。除了慌张迟疑，还有什么是至关重要？反正不是鱼，反正不是曲线，反正不是方程，反正不是上帝。来，我们看看教材。人教社A版高中数学，《曲线与方程》已被弱化。但似乎考试并不影响，依旧是风起云涌，如火如荼。弱化理论当然不是为了命题挖坑，事已至此，往往事与愿违。如果说曲线与方程（本质是一种充要条件）没有难度，那是自欺欺人。单就是概念中的纯粹性和完备性就足以烧脑，更何况五花八门的奇技淫巧。砍掉了，不能说普天同庆，至少也大快人心。求轨迹方程的套路没有十种，也有八种，“交轨法”恰恰是不常考的那种。一旦出现，势必一鸣惊人。所谓交轨法，即选择适当的参数表示两条动曲线的方程，将两方程中的参数消去得到动点的轨迹方程。交轨法难就难在消参，既要敏锐的洞察力，又要深厚的计算功底，瞄准了，整体变换，电光火石之间，一击可得。瞄不准也没关系，硬解出P点坐标，代入P点的方程也未尝不可，只是运算量稍微大点而已。不知不觉，这已是另外一种方法——相关点法（代入法）。也有人称之为椭圆的“垂径定理”，叫什么都可以，东西还是那个东西——椭圆上任意一点（异于长轴端点）与长轴两端点连线的斜率之积为定值。长轴端点可推广至任意关于原点（对称中心）对称的两点，说白了，就是椭圆的直径。一切问题都要围绕着坐标进行，所以角度转化为斜率，斜率转化为坐标，一切都是那么理所当然。没有了。如果有，也无非是些鸡零狗碎，诸如斜率是否存在。坦率讲，第二问并不出彩，所以定比点差法无疑是牛鼎烹鸡。定比点差法，又是定比分点，又是点差法，听着名字都洋气。但我既不推崇，也不回避。推崇，会陷入无休无止的争论；回避，将错失出奇制胜的法宝。最好的办法是借坡下驴。你一定想知道，法3怎么可以如此荒唐，又如此出神入化。很遗憾，此处略过。一是说来话长，并非三言两语；二是即便你会，也未必得分。2005年高考山东卷压轴题相当不错，将轨迹方程、三角函数、定点问题完美地融合，考查函数与方程、转化与划归，以及分类讨论的思想。即便放到当下，也丝毫不逊色。此题横空出世，却非突如其来。它的的确确源自于教材，在习题的基础之上拓展延伸，熟悉而陌生。如今，这已变得稀松平常，照猫画虎，东施效颦，简直多如牛毛。可没有一道题能如此意犹未尽，余味无穷。
