高阶等比数列和的性质

1、导数性质——

（1）若 ∑ⁿ_i=1a(i)=S(n)，则 ∑ⁿ_i=1a′(i)=S′(n)-S′(0).

（2）举例：a(i)=ln(i)、S(n)=lnΓ(n+1)，由性质（1）得

∑ⁿ_i=1(1/i)=ψ(n+1)-ψ(1)=∫(0，1)[(1-tⁿ)/(1-t)]dt.

（3）若a(i)、S(n)含有qⁱ、qⁿ，则可以把qⁱ、qⁿ当成常量，性质（1）仍然成立。

2、积分性质——

（1）若 ∑ⁿ_i=1a(i)qⁱ=qⁿf(n)-f(0)，则有下面积分等式成立：

∑ⁿ_i=1(qⁱ)∫(0，i)a(t)dt=(qⁿ)∫(0，n)f(t)dt+[(1-qⁿ)/(1-q)]∫(0，-1)f(t)dt.

（2）若 ∑ⁿ_i=1(i^kq^i-1)=S_k(n)=qⁿf_k(n)-f_k(0)，则有以下求和递进公式：

[1/(k+1)]S_k+1(n)=(qⁿ)∫(0，n)f_k(t)dt+[(1-qⁿ)/(1-q)]∫(0，-1)f_k(t)dt.