《下学葊算书》之勾股形三率转四率论(12)
《下学葊算书》之勾股形三率转四率论(12)
上传书斋名：潇湘馆112 Xiāo Xiāng Guǎn 112
何世强 Ho Sai Keung
提要：清代数学流行“连比率三率”，此三率为首率、中率及末率。“连比率三率” 即首率乘以末率等于中率之平方。但三率可改成四率，其四率等式亦可用于勾股形中。
关键词：连比率三率 转四率 中率 末率
第 1 节 “连比率三率”之化成四率法
本文取自清‧项名达着《下学葊算书一》之“重论第四五六术”。
笔者有文名为〈《下学葊算书》之勾股形三率论 (11)〉，本文乃其延续。
清代数学流行“连比率三率”，此三率为首率、中率及末率。以下为连比三率式：
=
。
若首率 = a、中率 = b及末率 = c，则“连比率三率”指以下等式：
=
--------------------------------------------------------- (1)
即 ac = b2，即首率乘以末率等于中率之平方。
若果改成四率，项名达《下学葊算书》曰：
凡有三率连比例，欲易为四率相当比例，仍其首率中率为一率二率，而以首率中率和为三率，则其四率必为中率末率和。以首率中率较为三率，则其四率必为中率末率较。
清代数学界亦流行“比例四率”，即
=
，移项得：
四率 =
。
项名达之意指以下两式：
=
。或
=
。
=
------------------------------------------------------ (2)
=
------------------------------------------------------ (3)
(2) 与(3) 是为三率转为四率之式。
证明：设
=
= k，则 a = bk，b = ck 或 a = ck2，左方：
=
=
= k，所以 (2) 式成立。
=
=
= k，所以 (3) 式成立。
项名达以以下之数字说明以上之等式：
=
，即a = 9、b= 18及 c = 36，其 (2) 式为：
=
=
=
。其(3) 式为：
=
=
=
，等式正确。
又另一例：
=
，即a = 8、b = 12及 c = 18，其 (3) 式为：
=
=
。各分数约至最简为
，等式正确。
项名达《下学葊算书》通常为 a <b <c﹝避免负数﹞。
第 2 节 四率法与勾股形三边之和与较
“连比率三率”亦适用于勾股形三边，此三率为首率、中率及末率。此三率可依第 1 节之法化成四率，此四率交义相乘后即形成恒等式。注意以下之勾股形：
注意勾股定理成立：x2 + y2 = z2。
(1) 若首率为股弦较 z – y，中率为勾为 x，末率为股弦和 z + y。
若以以上三数改为四率，则仍以 股弦较 z – y 为一率，勾为 x 为二率，股弦较加勾为 z – y + x，即弦较较为三率，勾加股弦和即 x + z + y为弦和和为四率，即：
=
------------------------------------- (4)
即(z – y)(x + z + y) = x(z – y + x)。
《下学葊算书一》曰：
此股弦较弦和和相乘，所以与勾乘弦较较等积也。
证明：从上节可知
=
----------------------- (2)
若 a = z – y，b = x，c = z + y，则 b + a = z – y + x，c + b = z + y + x，代入 (2)式即可得(4) 式。
或作如下证明：
(z – y)(x + z + y)= zx – xy + z2 – y2
= zx – xy + x2
= x(z – y + x)。
移项后即得 (4) 式。
(2) 若首率为勾弦较 z – x，中率为股为 y，末率为勾弦和 z + x。
化为四率以勾弦较 z – x 为一率，股为 y 为二率，勾弦较加股为 z + y – x，即弦较和为三率，股加勾股弦和即 x + z + y 为四率为弦和和，即：
=
------------------------------------- (5)
即(z – x)(x + z + y) = y(z + y – x)。
《下学葊算书一》曰：
此勾弦较弦和和相乘，所以与股乘弦较和等积也。
证明：从上节可知
=
----------------------- (2)
若 a = z – x，b = y，c = z + x，则 b + a = y + z – x，c + b = z + x + y，代入 (2)式即可得(5) 式。
或作如下证明：
(z – x)(x + z + y)= z2 – x2 + yz – yx
= y2 + yz – yx
= y(z + y – x)。
移项后即得 (5) 式。
(3) 若首率为股弦较 z – y，中率为勾为 x，末率为股弦和 z + y。
若以以上三数改为四率，则仍以 股弦较 z – y 为一率，勾为 x 为二率，股弦较与勾相减为 x – (z – y) = x – z + y，即弦和较为三率，勾与股弦和相减
(z + y) – x = z + y – x 为四率为弦较和，即：
=
------------------------------------- (6)
即(z – y)(z + y – x) = x(–z + y + x)。
《下学葊算书一》曰：
此股弦较弦较和相乘，所以与勾乘弦和较等积也。
证明：从上节可知
=
------------------------- (3)
若 a = z – y，b = x，c = z + y，则 b – a = x – (z – y) = x – z + y，
c – b = z + y– x ，代入 (3) 式即可得 (6) 式。
或作如下证明：
(z – y)(z + y – x) = z2 – y2 – xz + xy
= x2 – xz + xy
= x(–z + y + x)。
移项后即得 (6) 式。
(4) 若首率为勾弦较 z – x，中率为股为 y，末率为勾弦和 z + x。
勾弦较 z – x 为一率，股为 y 为二率，勾弦较与股相减为 y – (z – x) =
y – z + x ，即弦和较为三率，股与勾弦和相减即 x + z – y 为四率为弦较较，即：
=
------------------------------------- (7)
即(z – x)(x + z – y)= y(–z + y + x)。
《下学葊算书一》曰：
此勾弦较弦较较相乘，所以与股乘弦和较等积也。
证明：从上节可知
=
---------------------- (3)
若 a = z – x，b = y，c = z + x，则 b – a = y – (z – x) = y – z +x，
c – b = z + x – y，代入 (3) 式即可得 (7) 式。
或作如下证明：
(z – x)(x + z – y) = z2– x2 – yz + xy
= y2 – yz + xy
= y(–z + y + x)。
移项后即得 (7) 式。
(5) 若首率为股弦和 z + y，中率为勾为 x，末率为股弦较 z – y。
以上三数改为四率，则仍以 股弦和 z + y 为一率，勾为 x 为二率，股弦和加勾为 z + y + x，即弦和和为三率，勾加股弦较即 x + z – y 为四率为弦较较，即：
=
------------------------------------- (8)
即(z + y)(x + z – y) = x(z + y + x)。
《下学葊算书一》曰：
此股弦和弦较较相乘，所以与勾乘弦和和等积也。
证明：从上节可知
=
----------------------- (2)
若 a = z + y，b = x，c = z – y ，则 b + a = z + y + x，c + b = z – y + x，代入 (2)式即可得 (8) 式。
或作如下证明：
(z + y)(x + z – y)= xz + xy + z2 – y2
= xz + xy + x2
= x(z + y + x)。
移项后即得 (8) 式。
(6) 若首率为勾弦和 z + x，中率为股为 y，末率为勾弦较 z – x。
勾弦和 z + x 为一率，股为 y 为二率，勾弦和加股为 z + y + x，即弦和和为三率，股加勾弦较即 z – x + y 为四率为弦较和，即：
=
------------------------------------- (9)
即(z + x)( –x + z + y) = y(z + y + x)。
《下学葊算书一》曰：
此勾弦和弦较和相乘，所以与股乘弦和和等积也。
证明：从上节可知
=
----------------------- (2)
若 a = z + x，b = y，c = z – x，则 b + a = y + z+ x，c + b = z – x + y，代入 (2)式即可得 (9) 式。
或作如下证明：
(z + x)( –x + z + y)= –zx + z2 + zy – x2 + xz + xy
= y2 + zy + xy
= y(z + y + x)。
移项后即得 (9) 式。
(7) 若首率为股弦和 z + y，中率为勾为 x，末率为股弦较 z – y。
以上三数改为四率，则仍以 股弦和 z + y 为一率，勾为 x 为二率，股弦和与勾相减为 z + y – x，即弦较和为三率，勾与股弦较相减即 x – (z – y) =
x – z + y 为四率为弦和较，即：
=
------------------------------------- (10)
即(z + y)(x + y – z)= x(z + y – x)。
《下学葊算书一》曰：
此股弦和弦和较相乘，所以与勾乘弦和较等积也。
证明：从上节可知
=
=
------------ (3)
若 a = z + y，b = x，c = z – y，则 a – b = (z + y) – x = z + y– x，
x – (z – y) = x – z + y，代入 (3) 式即可得 (10) 式。
或作如下证明：
(z + y)(x + y – z) = zx + zy– z2 + yx + y2 – zy
= zx – z2 + yx + y2
= zx – x2 + yx
= x(z + y – x)。
移项后即得 (10) 式。
(8) 若首率为勾弦和 z + x，中率为股为 y，末率为勾弦较 z – x。
勾弦和 z + x 为一率，股为 y 为二率，勾弦和与股相减为 (z + x) – y =
z + x – y ，即弦较较为三率，股与勾弦较相减即 x – (z – y) = x – z + y 为四率为弦和较，即：
=
------------------------------------- (11)
即(z + x)(y + x – z)= y(z + x – y)。
《下学葊算书一》曰：
此勾弦和弦和较相乘，所以与股乘弦较较等积也。
证明：从上节可知
=
=
------------- (3)
若 a = z + x，b = y，c = z – x，则 a – b = (z + x) – y = z + x – y，
b – c = y – (z – x) = y + x – z，代入 (3) 式即可得(11) 式。
或作如下证明：
(z + x)(y + x – z) = zy + zx –z2 + xy + x2 – xz
= zy – z2 + xy + x2
= zy – y2 + xy
= y(z + x – y)。
移项后即得 (11) 式。
以下为《下学葊算书》之原文：