自然哲学的数学原理，第五章引理21至25

《原理》第一编第五章的结构如下：

• 引理 17-21；
• 命题 22 问题 14：作一条圆锥曲线使之通过五个给定点；
• 命题 23 问题 15：作圆锥曲线通过五个给定点，并与给定直线相切；
• 命题 24 问题 16：画一条圆锥曲线，使它通过三个已知点，并与两条已知直线相切；
• 命题 25 问题 17：作一圆锥曲线，使它通过两个已知点，并与三条已知直线相切（这之前有引理 22，即继续谈作圆锥曲线上的点一文中所讲的那个变换）；
• 命题 26 问题 18：作一圆锥曲线，使它通过一个已知点，并与四条已知直线相切；
• 命题 27 问题 19：作一条圆锥曲线与五条已知直线相切（这之前有引理 23~25）；
• 其它一些圆锥曲线作图的引理和命题。

下面介绍各个引理。引理 21 是“已知圆锥曲线上的五个点，求做该曲线上的其余点”（《原理》第五章“命题 22 问题 14”）前的最后一个引理。鉴于这个命题的麻烦程度，我们还是将其分成互为逆命题的两部分。

首先，给定四个定点 、、、 和定直线 如图：其中 等于 ， 等于 ， 等于 ， 等于 。则当 在 上移动时，相应的一系列 点形成一条圆锥曲线。（参见下图，当 点移动时，直线 、，还有、 都不会变化，但 点位置会变）

容易证明，上图中的两个三角形 和 相似，所以 （等于定值），类似的，（等于定值）。两个比例式右边都是常量，左边都有 ，所以 一定。根据前面讲过的引理 20 的后半部分， 在一条圆锥曲线上。

引理 21 的后半部分是前半部分的逆定理：如果点 在一条经过 、、 点的圆锥曲线上，当 在圆锥曲线上运动时，始终保持着 ，，且当点 运动到定点 时，相应的点 运动到 ，当点 运动到定点 时，相应的 运动到 ，则 的轨迹就是直线 。

这里介绍《原理》中关于以上引理的一个名词——极点：一个角保持大小不变，围绕其顶点转动时，称这个顶点为极点，如上面的 、 两点。

引理 23：已知定点 、 及定直线 、，当 在 上运动时， 也相应地在 上运动，但保持 一定，则将线段 分为定比的点 在一条直线上。

引理 24：图中 、 是圆锥曲线的平行切线， 亦与该圆锥曲线相切， 是圆锥曲线的中心，且 与 、 平行，可证 是 和 的比例中项。

引理 25：图中的平行四边形 （原著是写成这样的，现代一般写成 ）的四条边与圆锥曲线切于 、、、 四点，另一切线 与平行四边形交于 、、、 各点，有 ，以及 。（注意这两个比例的左侧两个线段，都是一个平行四边形边长和一个截线段长，右边的都是切线段和截线段长）

以上各引理另有推论若干。

《原理》第五章还有一些引理和命题，我暂时不想继续列举了。但我想说的一点是，对于牛顿这样人物的著作——何况是代表作——理应作敲骨吸髓式的研究。而笔者视野中几乎没有对《原理》中的命题作逐条分析的资料。我希望有志者能弥补这一点。至于我写的这些，权为引玉之砖，甚望得到专家指正。(笔者所见的关于《原理》的研究资料如下)