摆线的方程

摆线是一种特殊类型的参数曲线，当它沿着一条直线滚动时，它由圆周上的一点描绘出来。摆线图如下所示

摆线的参数方程

摆线的x坐标

首先让我们确定圆心。对于 x 坐标，首先点 P 沿 x 轴滚动时形成的弧等于原点和圆心之间的距离， 对于y 的坐标，永远保持长度 r不变。因此我们得到：弧长是rΘ，那么圆心坐标C(rΘ，r)

首先让我们找到一个函数 x(t) 来描述摆线的 x 坐标如何随着Θ变化而变化。点 P 从原点开始，并以等于线段 OC 长度的方式移动，那么圆的弧长是：

我们不需要知道半径的精确值，并且 Θ会有所不同。很简单：

然而OC的长度并不是我们关注的。我们需要减去线段PC的长度，得到OP = x，我们可以使用三角函数：

因此X的坐标等于

摆线的y坐标

当 Θ变化时，我们将使用类似的方法来确定 y 的坐标。圆心到 x 轴的垂线长度等于 r，r是圆的半径。我们现在要减去圆心到P点的距离。我们可以使用三角函数得到它的长度为 rcosΘ。因此，我们得到 y 的坐标等于：

我们知道摆线可以用两个参数方程来定义，即