隐藏在殷商甲骨文中的“数学公式”，让世人惊叹！
【内容提要】
这是《殷商甲骨文中的数理》释字的第六篇，拟探讨自然数的完全数“六”的“运算”与“运算公式”问题。
殷商甲骨文“日”字的形体较多，众说纷纭。现在世人理解“日”字的象形又过于简单，无异于依葫芦画瓢。我们常说，太阳每天都是新的，这是从中译外国文学而引入的，其实我们每天可以见到的“旦”字，在殷商甲骨文中，本义就是新太阳。
《说文》释“日”：“
，实也。太阳之精不亏。从口、一，象形。”这是说一“日”之实，涉及一“日”与二“日”的数理。释“旦”：“旦，明也。从日見一上。一，地也。”这是说一“日”从地平线“一”上升出的是“新日”，“旦”的数理是二“日”之交。释“旭”：“日旦出皃；从日，九声。”此处就点明了“旦”字的字理为为生出“兒”，就是“新日”；“旭”是九日，字理就是生出了第十个日。【1】
许慎的治学始于《淮南鸿烈闲诂》，其《本经训》记述了“十日”与后羿射日的神话。【2】这与《说文》释“日”等字是有关联的。
胡厚宣《殷商史》认为，商人乃用十干支的次序而以日为先公之名号，这意味着有十个太阳，也是采用《山海经》等远古神话中的十日为其佐证。【3】
令人惊奇的是，许慎关于太阳的数理，均见于殷商甲骨文“日”字，他是没有见过甲骨文的。“日”字（
，《新》3809）是用画圆圈线形象太阳的轮廓。“
”（《合集》26569，何组）圆圈线形中的有一点，可能是表示眼见的太阳之“实”，这与二个太阳相关，即一显一藏，也与“
”（《合集》6648正，賓组）中之“一”相通。“
”（《后》2.3.18（甲））的初文是指十个太阳，其中“丨”是指数十，“
”（《合集》36025，黄组）也是指十个太阳，二形同类。
十日“
”之形，与约夏朝时的神话传说“十日”相关。《山海经》所记“羲和生十日”、“常羲生月十有二”，袁珂详细考证、梳理其渊源，指出“至于日至数十而月之数十二者，洪古灾变之际，人民想象中之夸张也。今留一日一月，有神性英雄射落之也。苗族、彝族均有时日射月之神话，即其证。今神话中唯有羿射九日神话而无射月神话者，盖已散亡也。”【4】《山海经》与袁珂的注释对于远古神话的“十日、十二月”与“一日、一月”的关系，在殷商甲骨文中留下深刻的痕迹。
殷商甲骨文“旦”字比较齐整，就只三种形体，清楚显示出二个太阳。“
”（《合集》20897，无名组）的上下二日都是圆圈形。“
”（《合集》27446，何组）是上实下“藏”。“
”（《合集》34601，历组）是圆圈中都有“点（或一）”，上实下实也可理解，下“日”为母，上“日”为新生儿，即“新日”。未见第四种上“日”有“点”而下“日”无“点”的，因为没有这个“意”，就没有这种象形。原始造字之象形，是有“意”之象形。所以，“旦”之上下二日，是母日生出子日之形。若用段玉裁的术语“合体象形”，也难以说明“旦”字的本形，这也许是许慎完全想象不到“旦”有二日之形的一个重要原因。
”（《合集》1772正，宾组）、“
”（《合集》1111反，宾组），今学人的解释，多拘泥于《说文》“乾肉”说，而戴家祥《金文大字典》认为卜辞“昔”字，“象太阳上下都有波浪”，如《广雅·释诂》“昔，夜也”，“许说大误。杨树达等读昔为昨，郅确。”【5】此说甚是。笔者略作补充，“昔”是指“旦”字二日的下面那个日，即“昔日”。“昔日”之形则在水之上下，涉及母日与子日之牵连。
）字，初形是白日，即白天的太阳，与昔日相对。见下图：
母日（昔）“
”—→生日（旦）“
” —→子日（白（
）
“日”字这一组相关形体，涉及一日、二日、三日、十日，这就是数理运算。而许慎误为晾晒干肉之水汽的“昔”，可能是源于远古人类与日相关的生活习俗。
可见，“日”字远不是看着太阳画圆圈这么简单，是直接与观测天象、探究历法、数理运算相关。陈美东《中国科学技术史》在详细总结古代天文研究的百年成果后说：“综上所述，殷代历法是阴阳合历。一年约长365日，以观测大火星昏时南中天（观测太阳南至或北至亦为一法）的时日，即相当于夏历五月为岁首，一月平均长29.54日，以新月的出现为岁首，大约30日，小月29日，间或有连大月或大月31日的设置，以达到月首时新月设置的目标。平均12个月，间或加进闰月以调节年与月之间的关系。闰月的设置尚无规律可言，是由随机观测确定的，其规则是力使一年的正月与岁首所在之月相匹配。所以，殷人的历法是有了一定的规则的，又带有浓厚观象授时色彩的历法，属于观象授时向推步历法过渡的初始形态。”【7】
殷人历法涉及的天象观测、阳历、阴历之交合的计算非常复杂，又是与祭祀占卜合为一体，其中非常重要的是“已经有了基本的规则”。笔者认为，我们在殷墟甲骨文第一期中看到神奇的《六十干支表》，应该就是殷人历法规则的一种“数理表”，形成这种列表的具体时间不清楚，但其数理的运算应该远早于殷墟。该表是六十干支为六竖行、十横栏，次序井然，右上角“甲子1,1”与左上角“甲寅1,3”的交合就是完全数“六”；另有完全数二十八。西方抽象数学的界定，自然数百位的完全数有两个：六与二十八。这就在中国代殷商甲骨文中的数理中，是特殊的数集六十轮回出这两个完全数。
笔者以前释相关甲骨文以为，《六十干支表》是“目前见到最早的完整无缺的《数理表》”，“在人类古代文明史中都是极为罕见的”，这并非虚言。借助神话的想象，这就是十个太阳与十二个月亮合为一体的旋转，又经过“士”的运算而凝固成为《六十干支表》；不知反复运算多少年，才把运算的成果创造出了一个“士”字，从二、从十之会意，“士”的数理是“推二合十二”蕴含“推二合十”。
殷商甲骨文“士”字的构形本来就蕴含着“计算公式”，是商代的数学公式，也应该是人类最早的数学“公式”。极为重要的是，运算主体“士”与运算公式“士”合二为一。下面将要看“完全数六”的另二个“运算公式”。
殷商甲骨文“白”字形体简单，如“
”（《合集》3396，宾组）。今学人有解释为“油灯芯”、“大拇指”、“双鼻孔”、“月霸”等。而马叙伦《说文解字六书疏证》引戴侗说，钟鼎文凡百皆直作白，认为百是从一从百，是借白作数名。【8】这是准确的。
笔者补证，借作数名“白”者，有（
，《合集》993）、“
”（林泰辅《龟甲兽骨文字》1.8.13），就是百之数字的初文，在“
”上加“一”就成为“百”（
）。其字的演变见下图：
初文
日—→白日“
” —→数白、百
、
—→数百
、
《说文》释“白”：“西方色也。阴用事，物色白。从入合二。二，阴数。凡白之属皆从白。
，古文。”【9】这是用五行说，来解释战国时期四象之西方“物色白”与数理“入合二”，其数理“合二”也有一定道理；合“昔”为合二，合“旦”则为合三，而“从入”的释形则误。《说文》钞本有讹误为“白同自（
）的，今人不察而出现“鼻孔说”，即二鼻孔冒白气。其实“合二”是指中与四方之“五”的“合”，数理就是“二、五”之合，这就是上篇《殷商甲骨文中的数理》之五所讲的数理运算。
甲骨文“日”字本形，是白天之“日”，“白”上部有尖形以示与“日”之区别。“月霸说”是指月出而明，有一定的合理性，其实“白”不是指“月明”，而是象“日明”之形。“日明”易于计数，计数则极数，“白”就是“百”的本字。远古有“十日”神话传说，“十日”为极数；“百”也是一种极数，以“十”为基数，这都涉及数理。白色是日明之“白”的假借。
“白”的“拇指说”也有合理性。古代文明的计数，起源都与人类的双手十指相关。中国神话“十日”的数理，也离不开手指计数。数理的起源是多源头、多线索的。
必须说明，远古时的拇指，应是右手的“中指”。《说文》释“指”：“手指也。”释“拇”：“將指也，从手母声。”段注考证非常精细，认为“手以中指为将指为拇，足以大指为将指为拇。此手足不同称也。”中指为拇指，大指为巨指。【10】
再看中指（拇指）计数，中指是将指（拇指）一，又是五指之一，合大一与五为六；同时中指又是第三指。中指（拇指）合无名指、小指为三；中指（拇指）合食指、巨指为三。我们现在手指示数，翘大拇指与小指为六，应该是是古法的遗孓，但改变了拇指，不过数理相通，就是五指计数的数理有六，因为有拇指之大一。《周礼》记载的国子学（小学）之六艺：“礼、乐、射、御、书、数”，全部与用中指（拇指）相关，笔者另文探讨。总之，五指计数有两种：运算五与运算六，古今皆然。
远古“射”之钩弦用中指（拇指），牵牛犁之钩缰绳用中指（拇指）；书契执笔用中指（拇指）为单钩（用三指）。当然，用膳也用中指（拇指）执箸（筷子）。
神话后羿射日有数理十、九、一、三，数理运算见下图：
后羿射日之数理运算
具体说：（1）钩弦三。（2）十日数集十。（3）射九日而止，余一日。数理运算是：
（1）每射一日要用钩弦三，不用钩弦三则无射日，至射九日止而余一日，就是“十减一”、“减一”而至“减九”而止，必用数理三；
（2）此用钩弦三则不在十日数集十之内，属于另一序列之三，可以称作隐数三；
（3）另一序列的用隐数三，牵连隐数六，因为隐数三与“隐数六”之九，限定了“射一日”而“射一日”必至“射九日”而止，否则继续“射十日”则无日。
这种数理运算的隐数三牵连隐数六，就是原始意义的“函数”之函数值三与六。这不同于我们熟知的抽象数学的加减法计算。怎么知道原始神话就是这种数理运算呢？何以证明？我们确实不清楚，这是一种逆推法，因为在殷商甲骨文中有这种数理运算的结果，如我们前面已经看见的一日“
”、二日“
”、 三日（白（
）、十日“
”，其三日（白（
）是隐数三，牵连隐数六也未见。但是，我们在数字“白”、“百”中见到这种运算结果的公式。
十日至高无上,数集十为极数。所以，一、三、六之和为十。“六”为十位之自然数的完全数（完美数），即1＋2＋3＝6。抽象数学的百位的完全数只有两个，六与二十八。而《六十干支表》中就有完全数“六”与“二十八”的数理，其六十的百位是指“百”。从极数的数集“十”到极数的数集“百”、数集“千”、数集“万”，近似于现代数理逻辑的连续统（continuum）。
许慎《说文解字序》开篇就讲中华文明的起源：“伏羲八卦—结绳为治——仓颉初作书”，只用了二个极数“百工以乂，万品以察”，即“百”与“万”。初作书之“文”为“依类象形”，象形为六书正名之首，象形字的例字为“日”、“月”，象形之“文”与象形字之例字“日”、“月”相合，就是“文明”。许慎巧妙的告诉我们，文字学就是“文明论”，这就是中国的文字哲学。而“文明论”涉及极数“百”，而且是“百工（以治）”与“万品（以察）”，有意区别于《易大传·系辞下》所谓“百官”与“万民”【11】这是偏向于科学的数理，应该是受到墨子名辩数理逻辑的重要影响。
顺便说一下，“明”的字理是指今日与明日之关系，或者说初日与次日的关系，所以古诗云：“明日复明日，明日何其多”；“明”字的数理是昔日、旦、白日，即三合二、一；“明”中“月”的下面是太阳，即昔日。
在殷商甲骨文之前，史（同“士”）总结了原始人类的文明进步的积极成果，创造出了《六十干支表》，也创造了“白”字、“百”字。
殷商甲骨文“百”字，除假借“白”字外，其构形中间的数字值得特别关注：“
（《合集》21247，𠂤组）是一，“
”（《合集》22185午组）是“一、二”，“
”（《合集》302，賓组）是“三合”之三，“
”是“六”。为什么“
”是六？六百合文“
”【12】的上部之“六”（
）与“
”字中间的“六”（
）同形。
笔者查寻诸多甲骨文“百”的字形，以“三合”形“
”为主，数“六”（
）为其次。这些字例全部作为百数，“百”字中间的数目差异与百数无关。笔者也查寻“百”组成的数字合文，也是如此。这就说，“
”、“
”、“
”、“
”之系列残存着其字初文之形。四字之造字孰先孰后？抑或大致同时？这确实无以揣度，不过完全数“六”的算法就在这“百”字四种构形中，简直就是一个完全数“六”的计算公式。这是偶然的巧合？巧合更能说明“完全数（完美数）”的神奇：(见下图)
完全数六之运算公式
之一 日
之一
之一至二 旦
之一至二
之合三 白
之合三
之六 假借百
之合三
这种从“日”至“白”、至“百”的多形进化，非常清楚的看到，前面说的后羿射日数理运算中的隐三与隐六，在殷商甲骨文中则成为明数，不过原隐数三嵌入假借百的“白”（
）之中，隐数三与隐数六嵌入“百”之中。
这肯定不是一个人作为，是原始人漫长的集体智慧的结晶，或者借用文化人类学的语言说，这一组“日”、“白”“百”系列，是原始人的思维的集体表象，当然也有史（同“士“）的数理运算。这“
”、“
”、“
”、“
”之系列算不算“数学公式”？
这一个百“
”、“
”就是数学公式，更合乎现代数学更严格的界定，即除自身以外的约数（真因子）一、二、三之合，“
”、“
”中的“合三”就是牵连“
”之二与“
”之一。同时“
”、“
”还牵连“
”之六，因为函数值必须“六”与“三”相关 。
这涉及到如何判定数学公式的问题。譬如说，古希腊欧几里得《几何原理》（公元前300年）给完全数的“定义”是：一个完全数“等于它的各部分之和的数，即等于所有因子（包括一）之和”。这是现代学者从古希腊文纸草抄本翻译过来的定义。当然也有计算证明的过程，也是翻译出来的，详情我们不清楚。【13】中国殷商甲骨文中没有完全数的定义，但直观可见完全数的计算，就在四个“百”字的构形中。二者有一个显著的区别，《几何原本》定义对象是普遍性意义的“一个完全数”，定义也是普遍性意义的“它的各部分之和的数”，这是基于语音的线性的抽象思维。殷商甲骨文是基于书契之字形的个别性，所以不是界定为“一个完全数”，而是直接就给定一个数“六”及其运算，其数理就是完全数“六”。
依照既有的数学史所通行的逻辑标准，怎么判别殷商甲骨文“百”字这四字序列？还有一字“
”、“
”？还有殷商甲骨文其他相关的数理？这涉及数学公式的判定标准的问题。
成中英《中国语言与中国传统哲学思维方式》比较语音与象形文字对于思维方式偏向的影响，认为中国语言基于象形文字的特性，是“整体思维及其关系思维”。【14】这就是我们学人近些年反复论述阐释中国传统思维方式的基本倾向。应该说，这种看法是比较准确的。可是，我们在殷商甲骨文看到数理，与我们印象中这种模糊、隐秘、直觉、实用的“整体思维及其关系思维”大不一样，是纯粹的数、纯粹的数集，是纯粹的数理运算的结果。
“百”四字系列的数理是完全数“六”，确实是“一个等于部分之和的数”，但直观的是一、二、三之合六，其中有三合，与印度—阿拉伯计数法的计算有别，但距今三千多年还能一目了然。
尤其是《几何原本》所谓“等于它的各部分之和的数”的这个完全数的界定，看不到近代的集合论函数的意义。而墨子的名辩数理逻辑的三阶运算的最终结果所以取“
”，就不是“等于它的各部分之和的数”，而是在数集“十二”、数集“十”之外。“
”的函数值为三，与函数值六牵连，近似于集合论的函数式y= f（x）”。【14】这就是个别性，也牵连普遍性，都是共相。墨子的逻辑思维非常严密，把完全数“六”的真因子一、二、三转换个别性的所以取“
”三，最惊奇的是，所以取“
”还合理规避了数学史上著名的罗素“悖论”。这将另文作专门的探讨。
现在非常清楚的是，牵连二、一之“三合”（
），就在最多见的“百”（
）字中。没有理性思维，三合之“
”怎么会放进“
”、“
”字形中？
应该提一下，殷商甲骨文的“百”字比欧几里得《几何原本》要早近一千年。我们认为“百”字四字系列是一种数理、算术的“运算公式”，应该是没有疑问的。否则，怎么理解“士”字的字理与数理？怎么理解《六十干支表》中的数理？怎么理解殷人的阴阳合历以及观测天象的准确记录（如记录了四次日食）？怎么理解墨子的集合论函数的公理化？
基于语音的抽象思维只能是抽象的普遍性，如前述成中英所言，基于象形字的抽象思维只能是共相的个别性牵连普遍性，而汉字字形成千上万，繁衍不息，当然要盯住数理一、二、三。那么，这极简的数理一、二、三，怎么与万千世界关联？最佳选择就是集合论函数值“六”与“三”。简单的说，成中英《中国语言与中国传统哲学思维方式》所谓的“整体思维及其关系思维”，已经提炼成为“集合论函数”。这种模糊的“整体思维及其关系思维”与这种周密的数理与数理逻辑，构成了中华文明的思维方式的独特个性。
第五篇《殷商甲骨文中的数理》释字，引述〔英〕威廉·涅尔等《逻辑学的发展》、郑毓信《数学哲学新论》的逻辑哲学、数学哲学的视野中，不约而同的都溯源到古希腊的数1、2、3。现在看来，殷商甲骨文中的数理已经凝固在“士”字中。近代数理逻辑的溯源，应该溯源到殷商甲骨文中的运算公式。这不仅是一、二、三的三个数字，而是一群字。
最有趣的是，原始神话后羿射日，射日必用钩弦三，不射则不用钩弦三，所以墨子逻辑学的逻辑值有两种，即动与静，这个百字“
”中间的一、二，就是表示一至二之动，“
”、“
”中间的三合也是动的逻辑值。现在明白了，为什么我们经常说“天行健，君子以自强不息”。
（4）袁珂《山海经校注》，上海：上海古籍出版社，1980年版，第383页。
（2020年11月5日于武昌）
1.《殷商甲骨文中的数理（一）》释“士”；
2.《殷商甲骨文中的数理（二）》释“六”、“内”、“入”、“
”、“合”、“室”；
3.《殷商甲骨文中的数理（三）》释《六十干支表》；
4.《殷商甲骨文中的数理（四）》释“牛”、“分”、“八”、“物”、“勿”、“回”、“牵”；
5.《殷商甲骨文中的数理（五）》释“一”、“十”、“五”、“爻”、“癸”、“甲”；
6.《殷商甲骨文中的数理（六）》释“日”、“旦”、“昔”、“白”、“六百”、“百”。
来源：书法报