科学简史：古希腊的数学“公理化”体系
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古希腊人不但创造了辉煌的艺术和哲学，再数学方面也颇有造诣。早在毕达哥拉斯学派，便开始着手从数与数的关系来认识世界，据说是毕达哥拉斯出去遛弯，听到打铁铺打铁的声音，继而顿悟：原来声音之所以不同跟“铁”这个存在是没有关系的，而是跟频率、数量、大小有关。
为了“验证”自己的想法，毕达哥拉斯做了“琴弦实验”。他通过反复研究，发现琴弦的张力和长度与其发出来的音调之间存在比例关系。如果一根琴弦的长度是另一根的2倍，那么它发出的声音要比另一根低八度。既然琴弦的音调与其物质成分无关，而取决于数的关系，那么万事万物是否也符合同样的规律呢？
通过探讨事物数量间的关系，最初的算术发展成了“代数”，研究事物形体关系的数学发展出“几何”。中国古代学术，以算术见长，在代数领域贡献突出；古希腊则偏重于几何学的研究和应用。这里面显然蕴含了“功利性”和“非功利性”的主观抉择，即是中国古代会通过等腰三角形计算金字塔的高度，在当时也是被看作是毫无意义的。
毕达哥拉斯学派通过大量的研究，提出“万物皆数”的命题。他们认为任何事物都应该可以归结为整数与整数之比。他们带着这种信念继续研究“三角形”的比例关系，发现：直角三角形中，两边平方之和，等于斜边的平方。即：a²+b²=c²，西方人称之为“毕达哥拉斯定理”，也就是《九章算术》里面所说的勾股定理。
相传有一天，毕达哥拉斯学派有个弟子，突发奇想的想要论证一下，如果a=b=1的时候，c=？他逃入公式进行计算，a²+b²=c²=2，c=√2。这名叫做西伯斯的学生带着问题去请教毕达哥拉斯，算来算去√2无论如何也不是个整数啊。西伯斯很激动地认为自己发现了“新数”，而毕达哥拉斯学派的其他骨干认为这个新数动摇了学派的信念，几个人一合计把西伯斯捆了投到海底。
这是西方哲学史中广为流传的“第一次数学危机”，因为用旧的观念解释不了√2是无理数这个客观事实，继而把发现无理数的学者投入大海。无理数的发现者虽然肉身逝去，但是信念的动摇是不可挽回的，越来越多的人意识到“数”并不能代表客观实在，在古希腊人看来只有正整数是才是“数”，其他的都不是。再次使用√2这个概念的时候，已经是十六世纪的文艺复兴时期了。
古希腊代数的发展碰上难以解决的问题，但是几何学却突飞猛进。到了公元前300年左右，欧几里得集先贤之大成，编纂了《几何原本》。尽管我们对这个人的生平所知甚少，但是他的著作已成为不朽。欧几里得构建了一条“公理化”的体系，这是演绎法运用的辉煌成就。
古希腊人把人推理问题的方法分为“归纳法”和“演绎法”。归纳法是通过大量的观察，从众多现象中归纳共性。但是这种思维方法的短板在于，他具有不确定性。比如“黑天鹅事件”，因为人们见过的天鹅都是白的，理所应当的把“白天鹅”作为不证而明的公理，直到有一天在澳洲发现了黑色的天鹅，之后的哲学家连“天鹅要么是白的，要么是黑”的论断都不敢下了，没人敢保证再也不会碰上其他颜色的天鹅。正因为归纳法有着这种问题，希腊人更喜欢用“演绎法”，只要前提是对待，推理是严密的，那么结论一定是正确的。欧几里得构建的公理化体系，是这种逻辑运用的集大成作。
在《几何原本》中，欧几里得首先明确了点、线、面、角、形等概念和具体定义，然后提出五条公设：1、过不同两点可连成一线；2、直线两端无限延伸；3、任意一点为中心和任意一线段为半径，可作成圆；4、所有直角都相等；5、一条直线和两条直线相交，若同侧交角之和小于两直角，则两直线无线延长后必相较于该侧的一点。
接着他又提出五条公理：1、跟一件东西相等的一些东西，他们彼此之间都是相等的。2、等量加等量，总量仍相等。3、等量减等量，余量仍相等。4、彼此相合的东西是相等的。5、整体大于部分。欧几里得提出的这些定义、概念、公理、公设适用于一切科学真理，他继而一条一条的证明，在《几何原本》中列出467条命题。这一套公理体系，不但确立是数学为探寻真理的基础工具，还影响到其他学科。