科学简史:古希腊的数学“公理化”体系

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古希腊人不但创造了辉煌的艺术和哲学,再数学方面也颇有造诣。早在毕达哥拉斯学派,便开始着手从数与数的关系来认识世界,据说是毕达哥拉斯出去遛弯,听到打铁铺打铁的声音,继而顿悟:原来声音之所以不同跟“铁”这个存在是没有关系的,而是跟频率、数量、大小有关。

为了“验证”自己的想法,毕达哥拉斯做了“琴弦实验”。他通过反复研究,发现琴弦的张力和长度与其发出来的音调之间存在比例关系。如果一根琴弦的长度是另一根的2倍,那么它发出的声音要比另一根低八度。既然琴弦的音调与其物质成分无关,而取决于数的关系,那么万事万物是否也符合同样的规律呢?

通过探讨事物数量间的关系,最初的算术发展成了“代数”,研究事物形体关系的数学发展出“几何”。中国古代学术,以算术见长,在代数领域贡献突出;古希腊则偏重于几何学的研究和应用。这里面显然蕴含了“功利性”和“非功利性”的主观抉择,即是中国古代会通过等腰三角形计算金字塔的高度,在当时也是被看作是毫无意义的。

毕达哥拉斯学派通过大量的研究,提出“万物皆数”的命题。他们认为任何事物都应该可以归结为整数与整数之比。他们带着这种信念继续研究“三角形”的比例关系,发现:直角三角形中,两边平方之和,等于斜边的平方。即:a²+b²=c²,西方人称之为“毕达哥拉斯定理”,也就是《九章算术》里面所说的勾股定理。

相传有一天,毕达哥拉斯学派有个弟子,突发奇想的想要论证一下,如果a=b=1的时候,c=?他逃入公式进行计算,a²+b²=c²=2,c=√2。这名叫做西伯斯的学生带着问题去请教毕达哥拉斯,算来算去√2无论如何也不是个整数啊。西伯斯很激动地认为自己发现了“新数”,而毕达哥拉斯学派的其他骨干认为这个新数动摇了学派的信念,几个人一合计把西伯斯捆了投到海底。

这是西方哲学史中广为流传的“第一次数学危机”,因为用旧的观念解释不了√2是无理数这个客观事实,继而把发现无理数的学者投入大海。无理数的发现者虽然肉身逝去,但是信念的动摇是不可挽回的,越来越多的人意识到“数”并不能代表客观实在,在古希腊人看来只有正整数是才是“数”,其他的都不是。再次使用√2这个概念的时候,已经是十六世纪的文艺复兴时期了。

古希腊代数的发展碰上难以解决的问题,但是几何学却突飞猛进。到了公元前300年左右,欧几里得集先贤之大成,编纂了《几何原本》。尽管我们对这个人的生平所知甚少,但是他的著作已成为不朽。欧几里得构建了一条“公理化”的体系,这是演绎法运用的辉煌成就。

古希腊人把人推理问题的方法分为“归纳法”和“演绎法”。归纳法是通过大量的观察,从众多现象中归纳共性。但是这种思维方法的短板在于,他具有不确定性。比如“黑天鹅事件”,因为人们见过的天鹅都是白的,理所应当的把“白天鹅”作为不证而明的公理,直到有一天在澳洲发现了黑色的天鹅,之后的哲学家连“天鹅要么是白的,要么是黑”的论断都不敢下了,没人敢保证再也不会碰上其他颜色的天鹅。正因为归纳法有着这种问题,希腊人更喜欢用“演绎法”,只要前提是对待,推理是严密的,那么结论一定是正确的。欧几里得构建的公理化体系,是这种逻辑运用的集大成作。

在《几何原本》中,欧几里得首先明确了点、线、面、角、形等概念和具体定义,然后提出五条公设:1、过不同两点可连成一线;2、直线两端无限延伸;3、任意一点为中心和任意一线段为半径,可作成圆;4、所有直角都相等;5、一条直线和两条直线相交,若同侧交角之和小于两直角,则两直线无线延长后必相较于该侧的一点。

接着他又提出五条公理:1、跟一件东西相等的一些东西,他们彼此之间都是相等的。2、等量加等量,总量仍相等。3、等量减等量,余量仍相等。4、彼此相合的东西是相等的。5、整体大于部分。欧几里得提出的这些定义、概念、公理、公设适用于一切科学真理,他继而一条一条的证明,在《几何原本》中列出467条命题。这一套公理体系,不但确立是数学为探寻真理的基础工具,还影响到其他学科。

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