高学段小学生数形结合思想教学方法研究
摘 要
小学数学作为小学阶段必修的主要学科之一，其对学生数学素养的建立与培养具有一定的决定性作用，更是培养学生数学概念的基础。然而小学生因其受到年龄及学习能力等方面的影响，其抽象思维尚在发育阶段，在空间想象力方面存在欠缺性，对于抽象的数学概念、数学知识与数量关系难以理解。在实际课堂教学中应用数形结合思想方法，能够使学生对数学概念、数学知识有直观性的理解，并让学生在轻松愉悦的学习氛围中展开学习，使学生以积极主动的态度投入到数学知识的学习中。而对于高学段的小学生来说，其对数形结合思想都较为熟悉，但是却未能灵活运用，还需要得到进一步的强化。因此本文以数形结合思想教学方法为主题，分别对数形结合思想的内涵、特点、应用意义与教学方法展开阐述，以期能够为提高学生学习兴趣，使学生能够将所学数学知识应用到实际数学问题的解决，并促进数学课堂教学效率有效提高提供参考。
关键词：数形结合思想；小学数学；以数助形；以形解数
Abstract
As one of the main compulsory subjects in primary school, primary school mathematics plays a decisive role in the establishment and cultivation of students' mathematical literacy, and it is also the basis of cultivating students' mathematical concepts. However, due to the influence of age and learning ability, the abstract thinking of primary school students is still in the development stage, lacking in spatial imagination, and it is difficult to understand the abstract mathematical concept, mathematical knowledge and quantitative relationship. In the actual classroom teaching, the application of the thinking method of combination of number and shape can make students have intuitive understanding of mathematical concepts and mathematical knowledge, and enable students to study in a relaxed and pleasant learning atmosphere, so that students can actively participate in the learning of mathematical knowledge. For the students in high school, they are familiar with the thought of logarithmic combination, but they can not use it flexibly, and need to be further strengthened. Therefore, this paper takes the teaching method of the combination of number and shape as the theme, respectively expounds the connotation, characteristics, application significance and teaching methods of the combination of number and shape, in order to provide reference for improving students' interest in learning, enabling students to apply their mathematical knowledge to solving practical mathematical problems, and promoting the effective improvement of mathematics classroom teaching efficiency.
Key words: Combination of number and shape;Thought; Primary school mathematics; Helping shape with number;Solving number with shape
目 录
中文摘要 I
英文摘要 II
目 录 III
序 言
一、问题的提出及相关概念界定
（一） 数形结合思想背景（由来）
（二）数形结合思想的内涵
（三）数形结合思想的特点
（四）对小学教科书中高学段数形结合思想内容的分析
二、小学生数形结合思想教学方法研究的意义
（一）有利于小学生数学知识的掌握
（二）有利于小学生解决问题能力的提高
（三）有利于小学生数学思维的发展
（四）有利于小学生数学素养的提升
三、高学段小学生数形结合思想教学方法
（一）以数助形的教学方法
（二）以形解数的教学方法
结 语
参考文献
序 言
对于处于小学阶段的小学生来说，其受到年龄较小与经验较少的因素制约，再加上小学生的逻辑思维能力尚在发展中，而小学生对抽象的知识概念理解能力也较少，因此其在空间想象力也受到了制约，导致小学生在学习数学知识点的时候面对纯粹的数字概念存在理解困难的现象。若是未能及时发现及采取相应的措施，随着时间的积累必然会使学生对数学知识产生厌倦情绪，从而影响了学生数学知识的有效学习。
在《数学课程标准》①中对数形结合思想有一定的说法，其认为数形结合思想的实质就是将原本抽象的数学概念与数学知识与图形进行有效结合，通过图形将抽象的数学语言直观性呈现出来，同时通过利用数与形的相互转化使抽象的数学知识更显直观性，将难以理解、抽象的数学知识转化为简单、易于理解的知识点，将数与形有效结合，尽最大可能性促进思维能力的进一步发展。在小学数学课堂教学中应用数形结合思想，既能够培养与提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，又能够使学生的数学思维、数学核心素养得到有效培养，使学生在今后的数学知识学习中能够更好地解答数学问题。
一、问题的提出及相关概念界定
（一） 数形结合思想背景（由来）
华罗庚曾说过，数与形是相辅相成的，两者永远不可分离。自此便有了数形结合一说，其受到了众多数学领域学者及实践者的普遍认可及应用。结合相关理论与研究分析，对于数形结合思想的定义本文认为是：数形结合思想指的是将抽象的数量关系与直观的空间形式进行有效结合，并以数与形之间存在的对应关系，根据其两者独有的优势进行互补，通过对两者进行相互转化对数学问题进行解决的重要思想方法。通过数形结合思想能够使复杂的问题得到简单化，也能够使抽象的概念与问题得到直观性、具体化的显示，让学生能够充分发挥发散性思维，使问题的解决及表述更具多元化，从中理清与找出问题的内涵。通过运用数形结合使学生的抽象思维与形象思维得到进一步结合，从而促进学生观察能力与思维能力的进一步发展。
在开展小学数学课堂教学中，常会使用实物、线段图、数轴、面积模型图等多种图形对数量关系进行有效解释，而通过形学生能够清楚分析处理数据，通过数能够使学生对图形有更全面深入的认识。由于数存在一定的抽象性，而形则具有一定的直观性与具体化，因此通过正确认识数与形，是了解及应用数形结合思想的基础与关键。
（二）数形结合思想的内涵
1.以数助形
以数助形是指通过运用精确的数量关系对直观的图形进行解释阐述，从中深入挖掘出在图形中所隐藏的数量关系及内在规律，使图形实现数量化，以弥补图形缺乏精确性的缺陷。同时通过数量关系解释图形，能够使学生的逻辑思维能力得到进一步的发展，促进学生在理解问题时更具逻辑性，从而在实际生活与学习中学会使用数据科学说话，为学生数学意识及数学思维的培养树立奠定坚实的基础。
2.以形解数
以形解数是指将抽象、难懂的数量关系、数学概念与数学语言，通过转化成直观具体的几何图形，使其位置关系更具清晰明了性，有助于推理及计算的简单化，将原本繁杂、复杂的推理与计算实现直观性的呈现。通过使用直观的图形能够让学生极易理解与掌握数量关系，同时还能够通过图形性质让抽象复杂的数学概念、数量关系显得更加直观，让学生从中找出问题的本质所在。
（三）数形结合思想的特点
1.综合性
在学习知识过程中若是主动学习必然比被动学习更能取得良好的学习效果，而应用数形结合能够让学生建构属于自己的数学知识体系，而学生在学习过程中能够使抽象的数学知识具体化，而通过图形能够展现数字间存在的关系，使学生的综合运用能力得到有效提高。
2.直观性
数形结合思想的直观性在于其通过简单明了的直观图形，从中发现与掌握问题的重点及关键所在，以此使解题思路更加清晰，让复杂的问题实现简单化。一方面能够根据绘制的简单图形使计算过程显得简单化，使解题难度得到有效降低，为学生新旧知识的有效结合提供必要的条件。另一方面是满足数学简洁美及学生学习知识的客观规律要求，使学生在学习过程中能够体会到数学知识中所蕴藏的魅力与价值。
3.具象性
由于小学生所学的知识大部分都来自于现实客观事物，但是对于小学数学知识的学习却有部分数学知识存在抽象性，再加上随着知识难度的逐步加大，使更多知识更加趋向于抽象化，导致学生在学习过程中对数学知识的理解存在诸多问题。通过应用数形结合则能够使这问题得到更好地解决，使数学知识更具具象性，从而让学生能够轻松理解掌握新知识，使学生对新旧知识得到更好地理解与掌握，从而加深对数学知识的记忆，促进学生学习效率的提高。
（四）对小学教科书中高学段数形结合思想内容的分析
在新课程改革贯彻实施取得良好效果的背景下，对小学数学教材内容进行了相应的整改，其重点在于要满足当代小学生的成长规律要求，尊重学生的主体地位，坚持以人为本的教学理念，重视学生的经验与体验，使教材内容更加丰富。在高学段的数学知识学习中更加注重学生数学知识结构的形成，引导鼓励学生能够从多角度的发现问题、分析问题及解决问题，使学生能够全面的思考问题，以此改变创新学生的学习方式，为学生逻辑思维能力及创新能力得到培养与有效提高打下扎实的基础。
二、小学生数形结合思想教学方法研究的意义
（一）有利于小学生数学知识的掌握
1.能帮助学生理解抽象的概念
在学习小学数学知识过程中，数学概念对于小学生来说存在一定的抽象性，对抽象的数学概念理解存在困难，更别提要熟练与掌握了。通过应用数学结合思想教学，教师结合学生的理解能力及实际生活创设生动形象、充满趣味性的课堂教学氛围，使学生能够结合生活实际对数学问题进行理解，尤其是对于将抽象的数学概念转化成为学生易于理解的数学问题，让学生通过对问题的讨论与研究来理解数学概念，从具体化、直观的问题中掌握抽象的数学概念。如在教学乘法的时候，学生刚开始对乘法概念难以理解，此时教师可以提出问题情情景，当小朋友在购买铅笔时，每人要买3根铅笔，那么若是4个小朋友都要买铅笔，那么他们一共买了多少根铅笔？教师通过创设简单的问题情景让学生进行思考讨论，从中自然而然地引出乘法概念，学生对此概念也有了具体直观的理解。
2.能帮助学生理解抽象的数量关系
现阶段在开展小学数学知识的教学中，教师除了要向学生讲解传授相应的数学概念与数学知识外，还需要加强学生运算能力、理解能力、探索能力等各种能力的培养。但是在实际教学中小学生对抽象的数量关系认知还存在很大的问题，尤其是对于公式的运用、算法等难以理解，未能理清其中的数量关系。而通过运用数形结合思想教学方法后，通过将抽象的数量关系以直观的图形展现出来，让学生能够更好地理解其中的关系与位置②，从而促进学生学习能力与数学教学效果的有效提高。
3.能帮助学生理解抽象的基础规则
在小学高学段的数学知识中，包含着大量的计算题、文字量较多的难以理解的应用题目，致使学生在解答应用题时未能清楚找出其中包含的数量关系，尤其是学生对于题目与数量之间存在的基础规则无法正确解答。此时运用数形结合对数量进行直观性的描述，或是通过图形进行展示，将复杂的问题简单化，让学生能够快速准确的掌握抽象的基础规则，找出问题的实质，从中理清数学概念与数量关系，从而为提高学生的正确解题概率做铺垫。
（二）有利于小学生解决问题能力的提高
1.运用数形结合发现问题
在小学数学知识中几何知识是重要的一个知识点，学生在认识图形的时候需要从平面图形逐渐转向至立体图形的学习思维，但是在实际学习过程中部分学生在遇到实际图形问题时，想要运用形体知识进行问题解决，却存在诸多困难，觉得知识点难以理解，更别提运用了。而此时运用数形结合方式，通过画出图形以形想数，能够使学生对图形特征得到进一步得理解，从中对存在的问题得到有效发现，使知识难点得到有效解决。如在学习《长方体和正方体》知识时，虽然学生都熟悉掌握了关于长方体的表面积、体积的计算公式，但是在实际问题解决中却难以找出解决要点，不知该如何解决，无法分析题中的已知信息与问题之间的关系。通过应用数形结合让学生画出图形并标出相关的数据，结合图形去思考并发现问题，使学生能够更好地理清思路。
2.运用数形结合提出问题
将数形结合应用在小学数学教学过程中，除了能够使学生对数学知识有进一步的理解与掌握外，而且还能够提高数学教学效率，使学生的数学思维能力得到有效培养，促进学生数学核心素养的有效培养与提高。当学生在学习梯形知识点时，若要运用其有关知识点进行问题的解决时，要让学生能够理解数与形之间存在的关系，尤其是对于多边形的知识运用及面积计算公式，此时通过数形结合学生可以对平行四边形、三角形及梯形的面积的计算公式进行统一思考，是否能够用平行四边形或三角形的面积公式进行统一计算③。众所周知，学生在学习数学知识时常会遇到抽象的逻辑思考题，而学生看到题目时会觉得无从下手，因此通过借助图形学生能够从中提出问题，将复杂的文字通过转化为学生易于理解的图形问题，使学生能够更好地理清题中的数量关系。
3.运用数形结合解决问题
在数学知识的学习过程中，教师通过引导学生将原来静态思维方式逐渐转换为动态思维方式，使学生能够以运动、变化、联系的观点对问题进行考虑。通过运用动态思维方式能够对问题进行处理研究，使所学的知识前后联系与变化得到有效结合，从而促进学生辩证思维能力得到有效培养，从中更好地理清与把握事物的本质。而在数学教学过程中数形结合思想是时刻存在的，通过应用数形结合思想方法对问题进行解决，使数与形得到更好的结合，有助于复杂问题得到简单化。如在解答有平行四边形与梯形两个图形的问题中，通过运用图形将其中的数量关系直观表示出来，使学生在运算时显得更加简单快捷，有效降低了解题难度。应用数形结合，使学生在面对具有复杂数量的数学问题时，通过借助图形能够使学习难点及解题难点得到巧妙化学，从而使学生能够更好地解决问题，促进学生思维能力的进一步发展与提高。
（三）有利于小学生数学思维的发展
1.有利于学生深刻地理解数学概念
对于小学高学段的学生来说虽然具有一定的逻辑思维能力，但是仍然需要借助实物与直观形象以便于进行逻辑运算和推理，否则无法进行纯符号的运算。通过应用数形结合能够使抽象的概念具体化。对于小学数学概念来说，存在直观性与阶段性的特点，通过数形结合能够将数学概念直观化，使学生能够更好理解数学概念的来龙去脉，从中对数学概念有完整地认识，从而对数学概念有更深刻的理解。
2.有利于学生多角度地解决数学问题
对于小学生来说对于抽象的概念存在难以理解的问题，对于抽象的数学概念通常都会借助具体思维才能便于理解，而抽象的数量关系与数学问题通过符号与图解加以解释更具直观性，因此将数形结合应用在小学数学教学过程中，主要是采用线段图、示意图将数学问题中数量关系具体形象直观的表现出来，从中发觉问题的本质所在。对于小学高学段的数学知识学习，通过引导学生以画图的方式将复杂的条件与问题进行整理归纳，使学生在画图过程中理清问题的数量关系并找出解决问题的思路，让学生从多角度解决数学问题，体验到画图解决问题的价值所在。
（四）有利于小学生数学素养的提升
1.有利于发展逻辑推理能力
在小学数学知识中包含着一些学生难以发现的规律，学生在学习过程中难以理解，影响了学生接下来的数学学习。教师在教学过程中通过应用数形结合，能够使数学规律得到有效呈现，使学生在学习过程中更加轻松发现数学规律，充分调动学生的学习兴趣，体会到学习数学的乐趣。如在教学因数与倍数知识点时，教师引导学生思考既是30的因数又是5的倍数的数字是多少。此时学生可以通过借助图形的方式找出30的因数及30以内5的倍数，而从中得出重合的部分，因此便可得出这个数。通过该方法既可以让学生发现数学规律，又能够使学生的计算能力得到有效锻炼，从而促进学生逻辑推理能力得到进一步提高。
2.有利于发展数学运算能力
数学教材中包含的内容是对已有数学知识进行科学化、系统化的总结，但是对于小学生来说存在一定的困难性，因此通过应用数形结合能够将难以理解的数学概念、数学语言、数形关系图及位置关系有效结合，再借助数字与图形，将抽象思维与具体思维得到进一步结合，为学生初步形成辩证思维能力提供必要的基础条件。如在学习概念与规则的学习时借助图形，能够使学生对概念的内涵、运算的算理具有直观的认识，而在分数惩罚、真分数、假分数等知识的学习中，以折一折、分一分等方式对图形进行平均分，使分数乘法得到直观的演示④，并在教师的引导下对运算规律进行总结归纳，从而使学生对数学知识更加容易理解，进一步提高数学运算能力。
3.有利于发展直观想象能力
在教学小学数学知识时教师需要引导学生深入理解及掌握其规律，使学生对数学知识的本质有全面深入的理解，但是由于小学生受到年龄较小的影响，其抽象思维能力尚在发育中，未能对抽象的数学概念、数学语言有深刻的理解。对于小学低学段的学生来说其认知水平有限，因此该阶段需要培养学生的直观形象思维，而随着学生的成长，在高学段的学生需要重视其直观想象能力的培养，因此借助数形结合能够使学生从直观形象思维更好地过渡到抽象思维，使学生的直观想象能力得到进一步发展。
三、高学段小学生数形结合思想教学方法
（一）以数助形的教学方法
1.借助量角器等测量，会用数据区分具体图形
在学习数学知识的时候，学生对抽象的几何图形学习存在一定的困难性，虽然图形在数学问题的解答中具有诸多优势，但是也存在表达精确度及准确度的不足的问题，因此在实际教学中教师可以通过借助量角器等多种测量工具，对图形进行测量，引导学生从中对图形的特点进行归纳概括，从中将数学形式之美充分的展现出来，使学生能够更好地区分具体图形，在学习几何图形的时候能够深入理解与掌握图形的特点。
2.通过数方格、数量关系，会用数表示图形的边
在数学知识教学过程中，通过借助直观的图形进行知识讲解容易让学生理解，但是在实际教学过程中对图形的讲解存在一定的难度，学生理解起来也存在困难，因此此时可以通过借助数来发现和掌握形的特征与发展规律，使学生对图形有更深的理解。如在学习《图形的缩小和放大》知识点的时候，教师在课前提前准备好几幅大小不一样的长方形国旗，引导学生思考，哪幅国旗看起来会更舒服？学生通过观察与回答来感受正常的图形，从而对倍数的方法及在放大倍数前之间存在的关系进行分析，通过数量关系能够让学生意识到数字的缩小或放大对图形的形状大小产生的变化结果，从中了解到比的本质精髓，从而能够使用数对图形的边进行有效表示，为学生的数学知识奠定良好的学习基础。
3.动手测量，用数量赋予图形准确概念
对于小学数学知识的学习教师需要为学生创造相应的实践活动，让学生在实践过程中逐步提高学习兴趣，同时在实践中开展教学能够使学生的注意力高度集中，以此逐步提高学生的数学效率。这就需要教师在开展活动前要有计划、有目的、有组织，结合教学内容进行针对性的教学，对数学知识的学习合理安排，最终进行总结反思，从而加强学生动手测量的能力，能够使用数量对图形进行准确理解。如在教学圆形知识的时候，学生对圆的概念未能直接了解掌握，此时教师可以引导学生回想自己身边出现的物体，并通过使用圆规等学习工具进行画图，从中感受到圆与之前学习的长方形、三角形等其它多边形存在的异同点，从而更好地理解圆形的性质。学生通过在教师的引导下对圆形进行观察、操作，从中能够更好地理解圆的内涵与概念，以此感受到圆形是由曲线围成的，没有顶点也没有边长，但是它有直径与半径，从中建立了形与数之间的关系，使学生对圆形有更全面的认识，而通过数量来描述圆的性质，能够根据半径求圆的周长与面积，让学生能够更好的掌握圆的知识点，从而更好地解决实际问题。
4.借助算式发现图形的规律
在开展小学数学知识的实际教学过程中，教师应理解掌握小学高学段学生的思维能力发展情况，其思维尚处在发育中，对于生活中存在的事物仅有表象的认识，但是对于抽象的几何图形却难以理解，无法对其进行归类更无法使用数学语言对图形进行表述，在学习图形的时候无法掌握其规律，导致学生在学习的时候存在一定的困难性。如在学习长方体、正方体知识的时候，教师通过结合学生实际生活中存在的事物，引导学生对图形的概念与性质进行理解与掌握，如学生习以为常的课本、铅笔盒等实物⑤，从中借助图形计算公式来发现图形的计算规律，使学生能够熟悉掌握图形知识，并将所学的知识应用到实际问题的解决。
（二）以形解数的教学方法
1.借助实物图认识数，学会运算
对于数学知识的学，其包含的知识与概念都存在一定的规律与理论体系，但是学生在学习过程中难以理解、发掘其中的规律，对于其中的数更是无法理解与掌握，因此教师需要引导学生找出规律，让学生能够以浓厚的学习热情投入到数学知识的学习中。如在学习几何图形知识点的时候，若是仅通过书本上的文字描述及简单的图片难以突出其立体性，学生对于抽象的几何图形难以理解，此时教师可以结合教学环境进行简单的问题提问，引导学生进行思考回答。而在解决几何图形面积与体积时，教师通过借助教室里的桌子、教室等事物作为参考示例，为学生提供直观具体的视觉体验，使学生能够对几何图形的面积及体积有具体的感受。与此同时，教师还可以通过引入其他知识，借助实物图帮助学生理解与掌握几何图形的知识，从中找出解题思路与规律。在学生的实际生活中都存在各种事物，这些都是数学教学最好的素材与教学资源，教师通过有效利用及借助，让学生在解题时能够有效结合实际生活，为今后遇到同类问题提供必要的基础。
2.会用图形表示数与数的关系
对于数学知识的学习离不开学生的参与以及动手能力的培养，而学生的动手能力对于数学问题的解决是基础。学习数学知识关键要靠平时的日积月累，尤其是对于习题的练习能够让学生总结归纳出相应的规律，使其解题经验得以丰富，因此在教学过程中教师要加强学生动手能力的培养。众所周知，理论需要与实践相结合才能够让知识更好的掌握，若是仅停留在表面或嘴上，即便是再好的解题方法均无法得到更好地应用。一方面教师引导学生在日常做练习题时要将解题过程亲自写在纸上，俗话说“好记性不如烂笔头”，只有多写多练才能够使知识点牢固掌握。另一方面教师还需要严格要求学生在做练习题时的书写，要求学生在解读题目后能够完整地画出图形，通过对图形的观察研究得出数与数之间存在的关系，从中找出解题规律，使数量关系得到更好地呈现。
3.灵活运用图形解释数量关系
小学生在学习小学数学知识的时候对于数量关系理解不清，更别提对数量关系进行解释，为了能够让学生对数量关系有全面的认识，并理解其中的关系概念，因此教师可以引导学生运用图形对复杂的数量关系进行表示与解释，主要可以借助圆片、小棒等工具理解整数的运算，通过借助圆形、正方形等理解分数的运算，而通过借助线段图、韦恩图等内容找出数字运算规律，通过运用图形来将复杂的数量关系进行直观化的呈现。如在教学分数加减法知识的时候，可以通过将长方形与圆形进行涂色，以此来帮助学生对异分母的分数加减数量进行有效理解。学生还可以通过将一样大的三角形拼成平行四边形，从中对三角形面积公式有所理解，还可以借助正方形对正方形边长的平方由来进行理解。而在表示数量关系的时候，可以通过小棒让学生有直观的感受，借助线段图加深对题意的理解，从而列出相应的数量关系，以此使数量关系具有直观性，帮助学生更好地解决问题。
4.发展用图形表示数的规律能力
在数学知识中函数问题是其重要的组成部分，在学生的求学阶段中均有涉及到，但是对于学生来说，在面对函数问题的时候总是存在得分率较低的现象，但若是在填空题或是选择题时得分率就会相对较高。为了能够使学生更好地掌握有关函数问题的规律所在，这就需要教师要引导学生多练习图形题，尤其是在平时的训练中要培养学生观察图形的能力，使学生在图形中能够快速找出与函数相关的数量信息。教师除了在平时训练中让学生多应用图形外，在课堂讲课与知识传授中，要重视图形知识的讲解，使学生充分意识到图形在解决问题中发挥的作用与重要性，引导学生用图形去观察和解决问题，从而逐步培养用图形表现数的规律能力，使学生今后在面对函数问题的时候更加游刃有余。
结 语
综上所述，在开展小学数学课堂教学过程中应用数形结合思想，能够使学生对抽象的数学概念与数学知识具有直观、具体的认识，符合小学生的年龄与学习能力特点，满足小学生的客观发展规律。数形结合思想的应用，一方面能够使小学生对数学知识易于理解与掌握，并且可以将所学知识进行灵活运用，另一方面，还能够提高学生应用数学知识的能力，使学生拥有在生活中发现数学、运用数学的观念。另外，数形结合的应用还能够让学生对数学知识的学习树立正确的认知，使学生养成良好的数学思维，从而为学生接下来的数学知识学习做铺垫。
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