八上第八讲 四道中考小题 展示折叠精彩
写在前面
随着《勾股定理》一章的结束，意味着八年级上半学期的学习渐入尾声，我们即将迎来期中复习．
这一讲，我们从《勾股定理的应用》中，选取四道中考的典型小题，来感受折叠的精彩．
一．折叠的本质
众所周知，初中几何的三大变换是“平移”，“翻折”，“旋转”．苏科版在八上和八下分别设置了2个章节《轴对称图形》《中心对称图形》，即关注了其中两大变换．比如“手拉手”模型，即属于“中心对称”中的内容，而折叠小题，则是“轴对称”中的重点．
说折叠的本质就是轴对称，其原因在于，很多题目的解决需要用到轴对称的性质．如翻折前后的两个图形成轴对称，对应线段相等，对应角相等．而对应点的连线，则被折痕（对称轴）垂直平分．熟悉以上性质，可以为我们解题提供很多帮助．
二．基本模型与方法
我们知道，在矩形的折叠中，其一组对边可以作为平行线，而折痕充当了角平分线，这就有了一个常见的基本模型，“平行＋角平分→等腰三角形”．
用这个模型，可以得到相等的边，再找到一些未知长度的边所在的直角三角形，这样，用基本方法——勾股定理建立方程，可以解决大部分问题．
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分析解答与反思
本题不难，甚至可以秒解．
C△ABE＝AB＋AE＋BE
＝AB＋AD＝1＋2＝3
C△C′BF＝C′B＋ C′F＋BF
＝CD＋CF＋BF
＝CD＋CB＝3
C△ABE＋C△C′BF＝3＋3＝6
但本题的价值绝不仅仅于解出答案，我们要学会反思：
1.倘若让你用尺规作图作出折痕EF，你会吗？
考虑到B，D关于EF成轴对称，
则作对角线BD的中垂线即为所求．
2.题目中有你熟悉的基本模型吗？
EF平分∠BED，∠1＝∠2，
DE∥ BF，∠2＝∠3，
∴ ∠1＝∠3，
BE＝BF，△BEF为等腰三角形．
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分析解答与反思
这道题涉及到求线段FD长，显然应该考虑到构造直角三角形，那么第一步辅助线就想到连接EF．接下来看能否在△EDF中用勾股定理．但是EF目前无法表示，只能考虑将DF边转化，证明能否与GF相等．最终转化到△BCF中建立勾股定理的方程．
由折叠知，AE＝EG，
又∵E为AD中点，则EG＝ED，
在Rt△EFG和Rt△EFD中，
∠1＝∠D＝90°，
三．对应点连线很重要
除了利用基本模型解题，我们别忘了“对称轴将对应点连线垂直平分”这一重要性质，尤其是将直角三角形折叠时，构造的筝形也非常关键．在初二年级段，倘若知道了翻折三角形的两边长，即可利用面积法求得对应点连线的长度．
此外，若是在翻折过程中，折痕线段的一个端点是中点，还会有其他的直角三角形出现，可以拓宽思路．以下2题均是最近2年讨论多次的热点题，笔者借此机会，再给出适合初二学生的解法．
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分析与解答
连接BF交AE于G，
则BG＝FG，
易知AB×BE＝BG×AE，
∵E为BC中点，∴BE＝3，
在Rt△ABE中，
AB＝4，BE＝3，
∴AE＝5，
∴BG＝2.4，BF＝4.8．
∵BF＝EF＝CE，
根据“一个三角形中，
一条边的中线等于这条边的一半，
这个三角形是直角三角形”，
易知△BFC为直角三角形，
∠BFC＝90°，则CF＝3.6
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分析与解答
小结：
以上四道中考折叠小题，既有基本模型，又有基本方法，利用对称性，可以求对应点连线的长度，方法非常多．
而且，随着知识点学习的增加，我们还可以利用相似，三角函数来解，可谓十分精彩．
例3，例4的更多解法，详见：
《2017无锡中考数学不完全解析（1）——细品填空选择压轴题》
本讲思考题：
如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处.当△CEB'是直角三角形时，BE的长是_____
答案详见下期精彩！
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