中考数学压轴题分析：相似与线段数量关系

本文内容选自2021年益阳中考数学几何压轴题。题目以圆为背景，涉及证明线段数量关系的问题。

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【中考真题】

（2021·益阳）如图，在等腰锐角三角形中，，过点作于，延长交的外接圆于点，过点作于，，的延长线交于点．
（1）判断是否平分，并说明理由；
（2）求证：①；
②．

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【分析】

（1）只需根据角平分线的定义进行证明即可，根据圆的内接四边形对角互补可以得到∠AEF=∠ABC，再根据圆周角定理可以得到∠AEB=∠ACB，那么就可以由等腰得到想要的结论了。

（2）①通过全等进行证明线段的数量关系。

②遇到线段乘积，优先考虑相似。但是对于BD²与DE²的处理不好转化，找不到一个合适的直角三角形用勾股定理进行转化。

借助①中的结论，可以得到BD²﹣DE²＝（BD+DE）（CF-EF）=BE·DE。

再结合AE与EG，可以发现如果等证明△AEB∽△GEC即可。根据角度的关系易得结论。
【答案】解：（1）平分，理由如下：
，
，
又，

，，
，
，
平分，
（2）①由（1）知：平分，
，，
，
在和中，
，
，
，
②由（1）知，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即．