重庆市南开中学高2021届月考第12题：函数的综合问题

重庆·云师堂

萧瑟秋风，廖廓江天，重庆，依旧是阴雨绵绵。

掐指算来，2020年已不足两月。时间蹉跎，浑然不觉。

我想，大家更关心的是即将到来的半期考试。担忧没有必要，考好了，是学习努力的回馈；考不好，是出题人的不合时宜。

锅是有得甩的，虽然没什么用，但可以暂时遗忘眼下的痛苦。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

本题是一道函数综合题，考查函数的性质以及导数的应用。

三角函数结合导数是高考的热点，利用导数工具研究三角函数的单调性、极值、最值、零点、不等式等问题，具有良好的区分度。

多选题的出现，扩大了考试范围，同时也增加了答题时间。不过，通过近期考试发现，多选题反而增加了得分。尤其是中低档学生，当作单选来做，选一个有把握的，得3分比扣5分要划算得多。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

奇偶性是函数的整体性质，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。利用奇偶性，可将定义域内的性质缩小在对称区间内研究，下面考虑x》0的情况。

另外，y=x是奇函数，y=sinx也是奇函数，故f（x）=xsinx是偶函数。无论哪种方法，最顺手的就是最好的。

回到本题，A选项很容易判断，3分唾手可得，对基础薄弱的学生，不失为得分良策。但如果手抖，不小心选了B，那就玩完。

否定结论，只需一个反例。

周期函数每隔相同的周期，函数值重复出现，其图象完全重合。而本题实际上是周期倍增函数，当x》0时，f（x）的函数值在sinx的基础之上扩大x倍，其图象逐渐拉伸，与原图象相似。

导数的正负决定原函数的增减，而二阶导数的正负决定导函数的增减，并且决定原函数的凹凸。

若可导函数的导数存在唯一的零点，则原函数存在唯一的极值点。这里不要求极大值、极小值，所以不必判断函数的单调性。

注意，这里的原点（0，0）不一定是切点，所以需要另设切点（“在点”与“过点”的差别：在点一定是切点，过点不一定是切点）。

另外，y=0即x轴与y=f（x）切于原点，y=f（x）的图象介于y=x与y=-x之间，切点有无穷多个。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

通过上述分析，不难作出y=f（x）的图象：

（1）f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称；

（2）f（x）不是周期函数，当x>0时，随着x的增大，其波动幅度也越大；

（3）y=f（x）的图象在两切线y=x与y=-x之间反复振荡，并且f（x）的三条切线均穿透y=f（x）的图象。

4  操作

形同陌路，抑或一见如故