【向量场】图解高等数学-下 21

13.2 向量场

向量场(Vector Fields)

平面或空间区域上的向量场是个函数, 即区域内的每一个点都对应一个向量.

如果各个分量函数 M,N,P 是连续的, 则这个场是连续. 并且三分量是可微的话, 则向量场是可微场.

下面先来看几个向量场的图形, 绘制向量 {2,1} 的向量场图, 也就是每个地方都存在向量 (2,1).

再看下面的向量图, 只有向量的水平分量, 也即是说这个向量场总是水平的, 并且向量的长度取决于 x .

下面这个向量场中的向量同时有两个分量, 其实就是从原点呈放射状, 并且向量大小随着与原点的距离增大而增大.

一旦我们理解平面的情况, 我们就可以来看三维的向量场图, 在空间中的每一点处都有一个向量. 每个有x,y,z三个分量表示出来, 其中每个分量都是 x,y,z 的函数.

空间中向量场看起来很难有直观的感觉, 为了看的更清楚绘制切片曲面上的三维向量图, 这样四维的可视化会更能清晰表示在三维区域上的向量值. 比如从下面图形可以看到整个图形是由 {0,0} 向外背离原点, 且越靠外边, 向量长度越大

梯度场

如下面绘制马鞍曲面上梯度构成的向量场图.