精研细磨｜双曲线焦点三角形全解析
双曲线的焦点三角形，
其实本没打算去写的。
毕竟，
很多时候，
它和椭圆的焦点三角形那么相似。
可是想想，
毕竟客观题还是会考，
觉得还是要写个简单点、
但更直观点的东西。
所以，
今天的主要目标就是记忆了。
无题……
1
什么是焦点三角形？
定义当然是和椭圆一样的了。
焦点三角形ΔPF1F2：
双曲线的上一点（非实轴端点）与两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。
其中∠F1PF2为顶角θ，F1F2为底边。
焦点三角形三边关系
因为焦点三角形的顶点在双曲线上，
因此一定会满足双曲线定义的。
则有：||PF1|-|PF2||=2a.
当然，
一定还有|PF1|-|PF2|<|F1F2|的。
焦点三角形顶角
和椭圆的封闭性不同，
双曲线是个开放型曲线。
因此，
焦点三角形的顶角θ，
虽也是一个变量，
但变化规律就有点简单了。
从图中不难看出，
点P从顶点处出发时，
顶角θ应该是一直越来越小的。
因此：0°<θ<180°
看，
并没有椭圆中那么烦琐。
因为记得椭圆里，
要寻找角的最大值，
似乎还要用到余弦定理的吧。
焦点三角形的面积
记得椭圆中，
结合定义及余弦定理，
推导出了椭圆焦点三角形的面积公式。
那个我一真以为，
真的很美的的式子。
那么在双曲线里，
会不会也有这么美好的结论呢？
看看这个结论，
就觉得很有点意思了。
原来，
两个曲线的焦点三角形面积，
真的是有很强的可比性的。
椭圆、双曲线，定义中一加、一减，
却原来，
面积竟会是一乘一除的。
当然，
为了更好地利用这个面积，
和椭圆一样，
使用时也会经常的，
将之与点P的纵坐标结合在一起。
从而建立了，
面积与坐标之间的深厚友谊。
当然，
你也别忘了，
利用内切圆半径与面积的关系，
也可以实现面积与内切圆半径之间的，
相互转换了。
焦点三角形与离心率
椭圆中，
焦点三角形与离心率之间是有关系的。
这种关系，
可以从几何与代数两个角度去分别去刻画。
在双曲线中，
如果你愿意分析，
其实也有类似的结论.
①离心率的代数解释:
②离心率的几何解释:
③离心率与底角：
焦点三角形内心与旁心
三角形有三个旁心和一个内心，
而旁心，
名如其心，
真的是在三条边的旁边，
一边一个心。
右焦半径所对旁心轨迹
左焦半径所对旁心轨迹
其实，
旁心的轨迹确实还是挺麻烦的。
细心如你，
能从图中看出两腰所对旁心的轨迹特征么?
如果仔细观察,
可以得到下面这些挺有意思的结论:
①左旁心轨迹为左侧两支双曲线;
右旁心轨迹为右侧两支双曲线。
②顶点位于左支：
左旁心张口小,右旁心张口大；
顶点位于右支：
右旁心张口小,左旁心张口大.
③底边所对旁心:
顶点在左支时，旁心轨迹为x=a，
顶点在右支时，旁心轨迹为x=-a。
④内心：
顶点在右侧时，内心轨迹为x=a；
顶点在左侧时，内心轨迹为x=-a。
顶角平分线垂线
过焦点做焦点三角形顶角平分线的垂线，
垂足又会怎么样呢？
嗬嗬，
了不得，
垂足的轨迹竟是个圆！
可是冷静点，
从数量关系着手分析，
证明其实简单的。
毕竟，
只是两条直线的交点。
那么，
你能试下这个结论的证明么？
焦点三角形重心
椭圆中，
焦点三角形的重心，
轨迹依然是椭圆。
其实主要原因，
是因为重心公式的线性特征。
那么双曲线里，
重心的轨迹也是类似的.
焦点三角形外心
因为y轴是F1F2的中垂线，
所以，
理所当然的，
外心就在y轴上了。
只是因为有渐近线的限制，
外心的轨迹，
其实也只能是一条线段而已。
而且端点是空心的。
焦点三角形光学性质
和椭圆类似，
从焦点发出的光线，
经双曲面反射后，
反射光线的反向延长线，
一定会经过另一个焦点的。
光
线
反
射
法
线
与
切
线
显然的，
曲线在顶点P处的角平分线，
便是在点P处的切线了。
嗯，
求角平分线方程时
如果利用切线与角平分线的这种关系，
是不是很爽歪歪呢！