重庆市康德卷2021年三诊第8题：函数的公切线

重庆·云师堂

前面我们已涉猎圆锥曲线非对称问题、分式三角函数的最值以及函数型不等式，是时候祭出17世纪的神器——导数了。

导数的诞生具有深厚的几何背景，切线是高考绕不开的坎。尤其是公切线，时常出没于压轴题，成为高考的拦路虎。例如，2016年全国2卷的第16题，2018年天津卷的压轴题，2019年全国2卷的第20题，比比皆是。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

公切线的实质是导数几何意义的综合应用，将曲线间的位置关系转化为函数的单调性、凹凸性、极（最）值、零点等，考查转化与划归、推理与论证的能力。

解决公切线问题至少有三种打开方式：

①利用两切线重合；

②构造函数，转化为函数的最值；

③凹凸反转，利用切线不等式放缩。

以上方法不外乎从数与形两方面着手，殊途同归。这些方法蕴含泰勒展开、函数逼近的背景，渗透着数形结合、动静转化的思想，是命题者难以抗拒的源泉。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

两切线重合——这是解决公切线最基本、最通用的方法。遗憾的是，不少题中的切线方程都相当复杂，所以计算量不容小觑。

本题之所以清新脱俗，是因为题设给出了切线的斜率，使得切线方程变得简单。通过切线重合得出a，b的二次函数关系，配方即可求得b的取值范围。

一个下凸函数和一个上凸函数，公切线无疑是二者的分界线。分别作差构造辅助函数，求出相应的最小值和最大值，利用最值相等即可得出a与b的关系。

这个方法来源于证明函数不等式中的“隔离法”，如果构造的辅助函数没有最值，不妨适当变形后再构造函数。

利用切线不等式放缩，将下凸函数向下放缩，上凸函数向上放缩，然后两切线方程相等即可建立a与b的关系。

值得注意的是，如果两个函数的图象有公共点，那么公切线必过公共点。

【法3】应该是本题的命题背景，也是本题最好的打开方式。

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

函数与其切线存在怎样的关系？

不知你是否还记得，我们曾讨论过，有些切线恒在函数图象的下方，有些切线恒在函数的图象的上方，而有些切线则穿透函数的图象（即切过）。

对于下凸函数和上凸函数的切线，我们可归结为下述定理：

4  操作

形同陌路，抑或一见如故