【数学】研究空间形式和数量关系的科学

数学 ，是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看

属于形式科学的一种。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。

而在人类历史发展和社会生活中，数学也发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代

科学技术必不可少的基本工具。

数学分支

1：数学史

2：数理逻辑与数学基础　a；演绎逻辑学（也称符号逻辑学）b：证明论（也称元数学）c：递归论 d：模型论 e：公理集合论 f：数学基础 g：数理逻辑与数学基础其他学科

3：数论

a：初等数论 b：解析数论 c：代数数论 d：超越数论 e：丢番图逼近 f：数的几何 g：概率数论 h：计算数论 i：数论其他学科

4：代数学

a：线性代数 b：群论 c：域论 d：李群 e：李代数 f：Kac-Moody代数 g：环论（包括交换环与交换代数，结合环与结合代数，非结合环与非结合代数等）h：模论 i：格论 j：泛代数理论 k：范畴论 l：同调代数 m：代数K理论 n：微分代数 o：代数编码理论 p：代数学其他学科

5：代数几何学

6：几何学

a：几何学基础 b：欧氏几何学 c：非欧几何学（包括黎曼几何学等）d：球面几何学 e：向量和张量分析 f：仿射几何学 g：射影几何学 h：微分几何学 i：分数维几何 j：计算几何学 k：几何学其他学科

7：拓扑学

a：点集拓扑学 b：代数拓扑学 c：同伦论 d：低维拓扑学 e：同调论 f：维数论 g：格上拓扑学 h：纤维丛论 i：几何拓扑学 j：奇点理论 k：微分拓扑学 l：拓扑学其他学科

8：数学分析

a：微分学 b：积分学 c：级数论 d：数学分析其他学科

9：非标准分析

10：函数论

a：实变函数论 b：单复变函数论 c：多复变函数论 d：函数逼近论 e：调和分析 f：复流形 g：特殊函数论 h：函数论其他学科

11：常微分方程

a：定性理论 b：稳定性理论 c：解析理论 d：常微分方程其他学科

12：偏微分方程

a：椭圆型偏微分方程 b：双曲型偏微分方程 c：抛物型偏微分方程 d：非线性偏微分方程 e：偏微分方程其他学科

13：动力系统

a：微分动力系统 b：拓扑动力系统 c：复动力系统 d：动力系统其他学科

14：积分方程

15：泛函分析

a：线性算子理论 b：变分法 c：拓扑线性空间 d：希尔伯特空间 e：函数空间 f：巴拿赫空间 g：算子代数 h：测度与积分 i：广义函数论 j：非线性泛函分析 k：泛函分析其他学科

16：计算数学

a：插值法与逼近论 b：常微分方程数值解 c：偏微分方程数值解 d：积分方程数值解 e：数值代数 f：连续问题离散化方法 g：随机数值实验 h：误差分析 i：计算数学其他学科

17:概率论

a：几何概率 b：概率分布 c：极限理论 d：随机过程（包括正态过程与平稳过程、点过程等） e：马尔可夫过程 f：随机分析 g：鞅论 h：应用概率论（具体应用入有关学科）i：概率论其他学科

18：数理统计学

a：抽样理论（包括抽样分布、抽样调查等 ）b：假设检验 c：非参数统计 d：方差分析 e：相关回归分析 f：统计推断 g：贝叶斯统计（包括参数估计等）h：试验设计 i：多元分析 j：统计判决理论 k：时间序列分析 l：数理统计学其他学科

19：应用统计数学

a：统计质量控制 b：可靠性数学 c：保险数学 d：统计模拟

20：应用统计数学其他学科

21：运筹学

a：线性规划 b：非线性规划 c：动态规划 d：组合最优化 e：参数规划 f：整数规划 g：随机规划 h：排队论 i：对策论，也称博弈论 j：库存论 k：决策论 l：搜索论 m：图论 n：统筹论 o：最优化 p：运筹学其他学科

22：组合数学

23：模糊数学

24：量子数学

25：应用数学（具体应用入有关学科）

26：数学其他学科

折叠编辑本段发展历史

数学（汉语拼音：shù xué；希腊语：μαθηματικ；英语：Mathematics或Maths），源自于古希腊语的μθημα（máthēma），有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点，“学问的基础”。另外，还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内，其形容词意义凡与学习有关的，亦被用来指数学。

其在英语的复数形式，及在法语中的复数形式+es成mathématiques，可溯至拉丁文的中性复数（Mathematica），由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά（ta mathēmatiká）。

在中国古代，数学叫作算术，又称算学，最后才改为数学。中国古代的算术是六艺之一（六艺中称为“数”）。

数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见。从那时开始，其发展便持续不断地有小幅度的进展。但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态。

代数学可以说是最为人们广泛接受的“数学”。可以说每一个人从小时候开始学数数起，最先接触到的数学就是代数学。而数学作为一个研究“数”的学科，代数学也是数学最重要的组成部分之一。几何学则是最早开始被人们研究的数学分支。

直到16世纪的文艺复兴时期，笛卡尔创立了解析几何，将当时完全分开的代数和几何学联系到了一起。从那以后，我们终于可以用计算证明几何学的定理；同时也可以用图形来形象的表示抽象的代数方程。而其后更发展出更加精微的微积分。

现时数学已包括多个分支。创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为：数学，至少纯数学，是研究抽象结构的理论。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。他们认为，数学有三种基本的母结构：代数结构（群，环，域，格……）、序结构（偏序，全序……）、拓扑结构（邻域，极限，连通性，维数……）。

数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。数学在这些领域的应用一般被称为应用数学，有时亦会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用。

具体的，有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域：由逻辑、集合论（数学基础）、至不同科学的经验上的数学（应用数学）、以较近代的对于不确定性的研究（混沌、模糊数学）。

就纵度而言，在数学各自领域上的探索亦越发深入。

折叠西方数学简史

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展．而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术．第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破．除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类亦了解如何去数抽象概念的数量，如时间—日、季节和年．算术（加减乘除）也自然而然地产生了．

更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普．历史上曾有过许多各异的记数系统．

古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算．数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的．这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究．

西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备．但尚未出现极限的概念．

17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换．在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明．随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发展．

折叠中国数学简史

主条目：中国数学史

数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

折叠编辑本段相关定义

亚里士多德把数学定义为“数量数学，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”

数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。

数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士（Benjamin Peirce）的“得出必要结论的科学”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”（1903）。

直觉主义定义，从数学家L.E.J. Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是，虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象，即使它们不能被构造，但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象。

正式主义定义用其符号和操作规则来确定数学。 Haskell Curry将数学简单地定义为“正式系统的科学”。正式系统是一组符号，或令牌，还有一些规则告诉令牌如何组合成公式。在正式系统中，公理一词具有特殊意义，与“不言而喻的真理”的普通含义不同。在正式系统中，公理是包含在给定的正式系统中的令牌的组合，而不需要使用系统的规则导出。

折叠编辑本段学科结构

许多如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示。此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。因此，我们可以学习群、环、域和其他的抽象系统．把这些研究（通过由代数运算定义的结构）可以组成抽象代数的领域。由于抽象代数具有极大的通用性，它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题，例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗瓦理论解决了，它涉及到域论和群论。代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究。这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性。组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法。

折叠编辑本段使用空间

空间的研究源自于欧式几何．三角学则结合了空间及数，且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。

定义

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亚里士多德把数学定义为“数量数学”，这个定义直到18世纪。从19世纪开始，数学研究越来越严格，开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题，数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质，一些强调了它的抽象性，一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中，对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学，甚至没有一致意见。[8]许多专业数学家对数学的定义不感兴趣，或者认为它是不可定义的。有些只是说，“数学是数学家做的。”

数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家，直觉主义者和形式主义者，每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题，没有人普遍接受，没有和解似乎是可行的。

数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士（Benjamin Peirce）的“得出必要结论的科学”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序，并试图证明所有的数学概念，陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”（1903）。

直觉主义定义，从数学家L. E. J. Brouwer，识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是，虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象，即使它们不能被构造，但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象。

正式主义定义用其符号和操作规则来确定数学。 Haskell Curry将数学简单地定义为“正式系统的科学”。[33]正式系统是一组符号，或令牌，还有一些规则告诉令牌如何组合成公式。在正式系统中，公理一词具有特殊意义，与“不言而喻的真理”的普通含义不同。在正式系统中，公理是包含在给定的正式系统中的令牌的组合，而不需要使用系统的规则导出。 [2] 

结构

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许多诸如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。数学就研究这些结构的性质，例如：数论研究整数在算数运算下如何表示。此外，不同结构却有着相似的性质的事情时常发生，这使得通过进一步的抽象，然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能，需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。因此，我们可以学习群、环、域和其他的抽象系统。把这些研究（通过由代数运算定义的结构）可以组成抽象代数的领域。由于抽象代数具有极大的通用性，它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题，例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗瓦理论解决了，它涉及到域论和群论。代数理论的另外一个例子是线性代数，它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究。这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性。组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法。

空间

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空间的研究源自于欧式几何。三角学则结合了空间及数，且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述，结合了数和空间的概念；亦有着拓扑群的研究，结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。

基础

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旋转曲面(10张)

主条目：数学基础

为了弄清楚数学基础，数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托尔（1845~1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，为的是给数学各分支提供一个坚实的基础，而它本身的内容也是相当丰富的，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初，数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想，把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。

逻辑

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主条目：数理逻辑

数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果．现代逻辑被分成递归论、模型论和证明论，且和理论计算机科学有着密切的关联性。

符号

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主条目：数学符号

也许我国古代的算筹是世界上最早使用的符号之一，起源于商代的占卜。

我们现今所使用的大部分数学符号都是到了16世纪后才被发明出来的。在此之前，数学是用文字书写出来，这是个会限制住数学发展的刻苦程序。现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作，但初学者却常对此感到怯步。它被极度的压缩：少量的符号包含著大量的讯息。如同音乐符号一般，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。

严谨性

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数学语言亦对初学者而言感到困难。如何使这些字有着比日常用语更精确的意思，亦困恼着初学者，如开放和域等字在数学里有着特别的意思。数学术语也包括如同胚及可积性等专有名词。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。

数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。所有的数学对象本质上都是人为定义的，它们并不存在于自然界，而只存在于人类的思维与概念之中。因而，数学命题的正确性，无法像物理、化学等以研究自然现象为目标的自然科学那样，能够借助于可以重复的实验、观察或测量来检验，而是直接利用严谨的逻辑推理加以证明。一旦通过逻辑推理证明了结论，那么这个结论也就是正确的。

数学的公理化方法实质上就是逻辑学方法在数学中的直接应用。在公理系统中，所有命题与命题之间都是由严谨的逻辑性联系起来的。从不加定义而直接采用的原始概念出发，通过逻辑定义的手段逐步地建立起其它的派生概念；由不加证明而直接采用作为前提的公理出发，借助于逻辑演绎手段而逐步得出进一步的结论，即定理；然后再将所有概念和定理组成一个具有内在逻辑联系的整体，即构成了公理系统。

严谨是数学证明中很重要且基本的一部分。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或“证明”，而这情形在历史上曾出现过许多的例子。在数学中被期许的严谨程度因着时间而不同：希腊人期许着仔细的论点，但在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所作的定义，到了19世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理。数学家们则持续地在争论电脑辅助证明的严谨度。当大量的计算难以被验证时，其证明亦很难说是有效地严谨。

数量

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数量的学习起于数，一开始为熟悉的自然数及整数与被描述在算术内的有理数和无理数。

具体来讲：由于计数的需要，人类从现实事物中抽象出了自然数，它是数学中一切“数”的起点。自然数对减法不封闭，为了对减法封闭，我们将数系扩充至整数；而为了对除法不封闭，而为了对除法封闭，我们将数系扩充至有理数；对于开方运算不封闭，我们将数系扩充至代数数（实际上代数数是一个更广的概念）。另一方面，对于极限运算不封闭，我们又将数系扩充到实数。最后，为了避免负数在实数范围内无法开偶数次方运算，我们将数系扩充到复数。复数是包含实数的最小代数闭域，我们对任意复数进行四则运算，其化简结果都是复数。

另一个与“量”有关的概念是无限集合的“势”，它导致了基数和之后对无限的另外一种概念：阿列夫数，它允许无限集合之间的大小可以做有意义的比较。

简史

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西方数学简史

数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展，而东西方文化也采用了不同的角度，欧洲文明发展出来几何学，而中国则发展出算术。第一个被抽象化的概念大概是数字（中国的算筹），其对两个苹果及两个橘子之间有某样相同事物的认知是人类思想的一大突破．除了认知到如何去数实际物件的数量，史前的人类也了解如何去数抽象概念的数量，如时间——日、季节和年。算术（加减乘除）也自然而然地产生了。

更进一步则需要写作或其他可记录数字的系统，如符木或于印加人使用的奇普。历史上曾有过许多各异的记数系统。

古时，数学内的主要原理是为了研究天文，土地粮食作物的合理分配，税务和贸易等相关的计算。数学也就是为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构、空间及时间方面的研究。

西欧从古希腊到16世纪经过文艺复兴时代，初等代数、以及三角学等初等数学已大体完备，但尚未出现极限的概念。

17世纪在欧洲变量概念的产生，使人们开始研究变化中的量与量的互相关系和图形间的互相变换。在经典力学的建立过程中，结合了几何精密思想的微积分的方法被发明。随着自然科学和技术的进一步发展，为研究数学基础而产生的集合论和数理逻辑等领域也开始慢慢发展。 [3] 

中国数学简史

主条目：中国数学史

数学古称算学，是中国古代科学中一门重要的学科，根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：萌芽；体系的形成；发展；繁荣和中西方数学的融合。

相关

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中国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及的思想方法，近现代也有不少世界领先的数学研究成果就是以华人数学家命名的：

【李善兰恒等式】数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李善兰恒等式”（或李氏恒等式）。

【华氏定理】数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他与数学家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。

【苏氏锥面】数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。

【熊氏无穷级】数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为“熊氏无穷级”。

【陈示性类】数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。

【周氏坐标】数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外还有以他命名的“周氏定理”和“周氏环”。

【吴氏方法】数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“吴氏方法”；另外还有以他命名的“吴氏公式”。

【王氏悖论】数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。

【柯氏定理】数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与数学家孙琦在数论方面的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。

【陈氏定理】数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。

【杨—张定理】数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。

【陆氏猜想】数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。

【夏氏不等式】数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏氏不等式”。

【姜氏空间】数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还有以他命名的“姜氏子群”。

【侯氏定理】数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。

【周氏猜测】数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。

【王氏定理】数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。

【袁氏引理】数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。

【景氏算子】数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”。

【陈氏文法】数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文法”。

数学名言

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外国人物

万物皆数。——毕达哥拉斯

几何无王者之道。——欧几里德

数学是上帝用来书写宇宙的文字。——伽利略

我决心放弃那个仅仅是抽象的几何。这就是说，不再去考虑那些仅仅是用来练思想的问题．我这样做，是为了研究另一种几何，即目的在于解释自然现象的几何。——笛卡儿（Rene Descartes，1596~1650）

数学家们都试图在这一天发现素数序列的一些秩序，我们有理由相信这是一个谜，人类的心灵永远无法渗入。——欧拉

数学中的一些美丽定理具有这样的特性： 它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。数学是科学之王。——高斯

这就是结构好的语言的好处，它简化的记法常常是深奥理论的源泉。——拉普拉斯（Pierre Simon Laplace，1749~1827）

如果认为只有在几何证明里或者在感觉的证据里才有必然，那会是一个严重的错误。——柯西（Augustin Louis Cauchy，1789~1857）

数学的本质在于它的自由。——康托尔（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，1845~1918）

音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。——克莱因（Christian Felix Klein，1849~1925）

只要一门科学分支能提出大量的问题， 它就充满着生命力， 而问题缺乏则预示独立发展的终止或衰亡。——希尔伯特（David Hilbert，1862~1943）

问题是数学的心脏．——保罗·哈尔莫斯（Paul Halmos，1916~2006）

时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”。用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人时间多59倍。——雷巴柯夫

中国人物

祖冲之(10张)

事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干知，发其一端而已．又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣．——刘徽

迟疾之率，非出神怪，有形可检，有数可推．——祖冲之（429 ~500）

新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要．——华罗庚

数学表达上准确简洁、逻辑上抽象普适、形式上灵活多变，是宇宙交际的理想工具．——周海中 [4] 

科学需要实验．但实验不能绝对精确．如有数学理论，则全靠推论，就完全正确了．这科学不能离开数学的原因．

许多科学的基本观念，往往需要数学观念来表示．所以数学家有饭吃了，但不能得诺贝尔奖，是自然的．数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事．诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注于自己的研究．——陈省身

现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量．——丘成桐

看书和写作业要注意顺序．我们要养成良好的学习方法，尽量回家后先复习一下当天学习的知识，特别是所记的笔记要重点关照，然后再写作业，这样效果更佳． [5] 

标点符号

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数学是一门国际性的学科，对各个方面都要求严谨。

我国规定初等及以上的数学已可以算作是科技类文献。

我国规定文献类文章句号必须用“．”，数学采用的目的一是为此，二是为了避免和下脚标混淆，三是因为我国曾在国际上投稿数学类研究报告，人家却不采用，因为外国的句号大多不是“。”．

在证明题中，∵（因为）后面要用“，”，∴（所以）后面要用“．”，在一道大题中若有若干小问，则每小问结束接“；”，最后一问结束用“．”，在①②③④这样的序号后都应用“；”表连接，最后一个序号后用“．”表结束．

基础数学	中山大学
	首都师范大学
	厦门大学
	华东师范大学
	武汉大学
		计算数学	湘潭大学
			大连理工大学
西安交通大学
概率论与数理统计	中南大学
应用数学	新疆大学
运筹学与控制论	（无）

公式

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公式是数学重要部分。例如……

参见

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• 纯粹数学、应用数学

• 初等数学、高等数学

• 近代数学、现代数学

• 数学方法

• 数学题

• 数学家

• 数学名言

• 数学史

• 中国数学史

• 数学文化

• 数学公式

• 数学名词

• 常数

八大难题

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前七大难题是公认的七大难题，第八难题为世界三大猜想之一。

一、P（多项式算法）问题对 NP（非多项式算法）问题

在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。

与此类似的是，如果某人告诉你，数字13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克（Stephen Cook）于1971年陈述的。

二、霍奇（Hodge）猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

三、庞加莱（Poincare）猜想（已经被证明）

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间）中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

四、黎曼（Riemann）假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如：2，3，5，7 等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼（1826~1866）观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s)的性态。著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

五、杨－米尔斯（Yang-Mills）存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

六、纳维叶－斯托克斯（Navier-Stokes）方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶—斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

七、贝赫（Birch）和斯维讷通－戴尔（Swinnerton-Dyer）猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇（Yu. V. Matiyasevich）指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为：如果z(1)等于0，那么存在无限多个有理点（解）；相反，如果z(1)不等于0，那么只存在有限多个这样的点。

八、哥德巴赫猜想

在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：a) 任一不小于6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和；b) 任一不小于9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。通常把这两个命题统称为哥德巴赫猜想。把命题“任何一个大偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和”记作“a+b”，哥氏猜想就是要证明“1+1”成立。

1966年陈景润证明了“1+2”的成立，即“任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和”。 [7]

《万物皆数》：别想逃出数学的手掌心

提到数学恐怕是很多学生的噩梦，勾股定理、余弦定理、向量、导数……这些名词是不是让你想起了学生时代被数学支配的恐惧。不知道多少人和我一样，一毕业就希望再也不用跟数学打交道。可是看完《万物皆数》这本书，你会发现美梦破灭了，数学无处不在。

提到数学恐怕是很多学生的噩梦，勾股定理、余弦定理、向量、导数……这些名词是不是让你想起了学生时代被数学支配的恐惧。不知道多少人和我一样，一毕业就希望再也不用跟数学打交道。

数学恐惧症（网络图）

可是看完《万物皆数》这本书，你会发现美梦破灭了，数学无处不在。不过你也会发现，你坠入了一个新的美妙梦境——美丽的数学王国之梦。一本数学书为什么会有这样的魅力，让我们一起看看，无处不在的数学到底有多迷人。

《万物皆数》封面（ 图片来源：豆瓣）

数的诞生，伟大开始

生活中对一件事物太习以为常，人们就会忘记它的存在。生活中数字的随处可见让我们忽略了它是一项多么伟大的发明。

公元前4千纪末期，美索不达米亚地区的乌鲁克人陷入了数羊的烦恼。每年城邦里往来运输的羊数以万计，在数字还没有发明的当时，记住羊的数量成了一个不可能完成的任务。乌克鲁人最早用封装在容器中的石块来代替羊群数量，后来为了方便核验，他们在容器上的小石板标记石块的数量。一天，灵感好像石块一样击中了某个乌克鲁人的脑袋，既然我们有了石板上的图，为什么还需要石块呢？于是数字的概念在电光火石的一念之间横空出世了！

从此我们找到了自由出入“抽象”与“具体”世界的入口，我们可以在脑海里猜想勾三股四弦五这类现实中不存在的定理，也可以把世界精准地在脑海中还原，我们知道24度是一个舒适的温度，2.26米是一个巨人的高度，52度是烈酒，1光年的距离遥不可及……正因为数字的作用如此伟大，数学家毕达哥拉斯说出了这句名言“万物皆数”。

毕达哥拉斯 （图片来源：新浪）

人生有几何，恋爱怕三角

你说不就是数字嘛，生活中除了加减乘除的算数，我就再不碰数学。这时数学可能要在你生活的角落中发出一声窃笑。数学早在公元前8000年前就渗透到人们的生活里，美索不达米亚的史前人类在陶罐上的腰线不知不觉中用上了平面几何中能构成重复花纹仅有的变幻组合，不多不少，正好是定理证明的7种组合。

到了公元前4世纪，人们已经懂得用几何学改造世界了。最早几何学被用来测量土地大小，“今有圆田，周三十步，径十步。问田为几何？”，你家该分几亩田种地，几亩田盖房，土地测量员都用数学知识帮你安排得明明白白。有地有房了，该装修装修享受一下生活了吧。地砖的17种密铺类型数学家们都帮你算得一清二楚，选你中意的花纹铺满地板，就能住得像巴格达宫殿里的君王。

密铺图案  （图片来源：Olena Shmahalo/Quanta Magazine）

缤纷世界，无所不包

你可能会说打打游戏看看剧，脑袋放空，总没有数学什么事了吧。还真不是这样，你可能看不出来游戏、动画里生动逼真的人物原本只是一些简单的几何图形，它们要靠着三角学公式才能变成你眼前旋转跳跃、活泼可爱的角色。就连你用来玩游戏的电脑，最早也是数学家为了做算数题而发明出来的。

犹他茶壶是在计算机图形学界广泛采用的标准参照物体 （图片来源：Computer History Museum）

在家宅腻了，不然去户外走走。嘿，可巧了，自然界中的斐波那契数列正躲在户外的植物里等着你呢。松果的螺旋数始终是斐波那契数列中紧挨的两个数：1，1，2，3，5，8……神奇的大自然，神奇的数学。

又或者在茵茵草地上和小伙伴们来场足球赛。仔细看看你的足球是不是不多不少由20个正六边形、12个正五边形组成。恭喜你发现啦！这正是一个切割过后的正二十面体。感谢公元前4世纪的数学家泰阿泰德为足球这种游戏送上一记“助攻”。

上知天文，下知地理

小说《三国演义》里孔明因为“上知天文，下知地理”被称为“多智而近妖”。要像孔明一样博学，对一个数学家来说也不是什么难事，早在1757年天文学家杰罗姆·拉朗德和数学家妮可·雷讷·勒波特就根据数学模型预测出了哈雷彗星靠近太阳系的时间。18世纪末勒维耶通过演算，发现了距离地球超40亿千米的海王星。最近大热的黑洞第一张照片，其实它也不是真的被看见，而是数学计算的产物。数学家们不仅知天文，而且试图把整个宇宙都装进人类智慧的脑袋里。

彗星运行轨迹 来源：中国在线

数学算太阳系边缘的星球很准，指导我们出门买个菜也是分分钟的事情。现在大家手机里的导航软件也还得靠数学，卫星定位后通过三角形正弦或者余弦计算，得出你出门下一个路口该向左转还是右转。不仅仅如此，数学影响着我们当下的生活，它还将决定着我们的未来，人工智能、云计算、大数据这些先进的科学技术都要依靠数学带领我们实现。

《万物皆数》是一本简明的数学史书，作者从博物馆里的文物入手，将几千年来人类在数学方面探索的故事徐徐道来。数学不仅仅是一个计算的工具，它也是帮助我们理解、认识这个世界的方法。作者说，学习数学永远都不算晚，你需要的不过是一个大胆的猜测、好奇心和想象力。

看了这本书，你是不是更有信心学好数学了呢。

作者：一点

《数学》 该书共分三部分，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计。它介绍了数学的基本理论，枚举了典型例题，并配备了习题。

目录

第一部分 高等数学    第一讲 函数、极限与连续    第二讲 导数与微分    第三讲 中值定理    第四讲 导数的应用    第五讲 不定积分    第六讲 定积分及其应用    第七讲 常微分方程与差分方程    第八讲 无穷级数    第九讲 向量代数与空间解析几何   第十讲 多元函数微分学    第十一讲 重积分    第十二讲 曲线积分与曲面积分

第二部分 线性代数   第一讲 行列式    第二讲 矩阵    第三讲 向量组的线性相关性与向量空间    第四讲 线性方程组    第五讲 矩阵的特征值与特征向量    第六讲 二次型

第三部分 概率论与数理统计    第一讲 随机事件及其概率   第二讲 随机变量及其概率分布  第三讲 多维随机变量及其概率分布    第四讲 随机变量的数字特征    第五讲 大数定律和中心极限定理   第六讲 数理统计的基本概念      第七讲 参数估计    第八讲 假设检验

作者简介

作者

蒂莫西·高尔斯 剑桥大学劳斯·鲍尔数学教授，"数学界诺贝尔奖"--菲尔茨奖获得者，该奖专门授给"年轻数学家所作的最为大胆、最为深入、最有启示性的研究"。

序言作者

李大潜 复旦大学数学科学学院教授，中法应用数学研究所所长，《数学年刊》主编，曾任中国工业与应用数学 学会理事长，中国数学会副理事长。1957年毕业于复旦大学数学系并留校任教，1980年任教授，1995年当选为中国科学院院士，1997年当选为第三世界科学院院士，2005年当选为法国科学院外籍院士，2007年当选为欧洲科学院院士，2008年当选为葡萄牙科学院院士。在偏微分方程的理论及应用方面，取得了多项具有国际先进水平的成果。

内容简介

★传达主流数学的魅力，揭开数与空间的神秘面纱

★从哲学高度展示数学思维方式，启示你如何抽象思考

★剑桥大学数学教授，"数学界诺贝尔奖"--菲尔茨奖得主蒂莫西·高尔斯著

★中国科学院院士、著名数学学者李大潜推荐，赞其为"数学科普读物的楷模"

所有人在日常生活中都会接触到数学问题，多数人却又对之心存畏惧。在这本极为易读又充满趣味的小书中，蒂莫西·高尔斯解释了高等数学与我们在中小学所学的数学知识之间的一些最为根本的、主要是哲学性的区别，让我们能更好地理解那些听起来带有悖论的概念，比如"无限""弯曲空间""虚数"等。从基本的观念，到哲学探究，再到与数学共同体相关的一般社会学问题，本书揭开了空间和数的神秘面纱之一角。

折叠编辑本段目录

前言

第一章 模型

第二章 数与抽象

第三章 证明

第四章 极限与无穷

第五章 维度

第六章 几何

第七章 估计与近似

第八章 常见问题

内容简介

本书是面向21世纪高职高专规划教材中的数学立体化系列教材之一，是五年制高职高专和中职学校数学的初等数学部分。[1] 作者根据多年从事教学和科研工作的成果和经验，结合中职学生的特点，合理选择内容，并注意了与初中教材的衔接及对口升学考试的要求。全书包括集合、不等式、函数、三角函数、反三角函数、数列等内容;下册包括直线、二次曲线、平面向量、立体几何、排列组合、复数、概率初步等内容。每章前有本章学习要求和重点，每节中编排有紧扣知识点的课堂练习题，每节末有习题，每章末有本章小结、测试题、阅读材料。书末附有习题答案。本书可作为五年制高职高专、各类中职学校的数学教材，也可作为对口升学考试的教材或参考书。[1]

折叠编辑本段图书目录

第1章集合与不等式    1 1集合11 1 1集合的基本概念11 1 2集合的表示法1 2集合之间的关系51 3集合的运算71 3 1交集71 3 2并集81 3 3全集与补集101 4充要条件111 4 1充分条件和必要条件111 4 2充要条件121 5不等式的性质131 6一元二次不等式161 6 1区间161 6 2一元二次不等式的因式分解法171 6 3可化为一元一次不等式组的分式不等式191 7绝对值不等式21本章小结23

第2章函数     282 1函数的概念和性质282 1 1函数的概念282 1 2函数的图像302 1 3函数的单调性与奇偶性312 2反函数342 3一元二次函数352 3 1一元二次函数的图像与性质352 3 2解一元二次不等式372 4指数与对数392 4 1指数392 4 2对数402 5幂函数432 5 1幂函数的定义432 5 2幂函数的图像及性质442 6指数函数462 7对数函数49本章小结52

第3章三角函数      583 1角的概念的推广、弧度制583 1 1任意角583 1 2弧度制603 2三角函数的概念633 2 1任意角的三角函数的定义633 2 2任意角的三角函数值的符号653 3同角三角函数间的关系683 4三角函数的简化公式713 4 1角-α的三角函数简化公式723 4 2角的形式为2π-α的三角函数简化公式733 4 3角的形式为π±α的三角函数简化公式733 5三角函数的图像和性质773 5 1正弦函数的图像773 5 2正弦函数的性质793 5 3余弦函数的图像813 5 4余弦函数的性质823 5 5正切函数的图像和余切函数的图像833 5 6正切函数和余切函数的性质843 6正弦型曲线86本章小结90

第4章两角和与差的三角函数       954 1两角和与差的正弦、余弦和正切954 1 1两角和与差的正弦和余弦954 1 2两角和与差的正切984 2二倍角的正弦、余弦和正切1004 3已知三角函数值求指定区间内的角1034 3 1反正弦函数1034 3 2反余弦函数和反正切函数1054 4解斜三角形1094 4 1正弦定理1094 4 2余弦定理112本章小结114

第5章数列      1195 1数列的概念1195 2等差数列1225 2 1等差数列的定义1225 2 2等差数列的通项公式1225 2 3等差数列的前n项和1245 2 4等差中项1265 3等比数列1285 3 1等比数列的定义1285 3 2等比数列的通项公式1295 3 3等比数列的前n项和1305 3 4等比中项132本章小结133

第6章直线      1376 1两点间的距离公式、中点公式1376 1 1两点间的距离公式1376 1 2线段的中点公式1386 2直线方程1406 2 1直线方程的概念1406 2 2直线的倾斜角和斜率1416 2 3直线方程的几种形式1436 3两条直线的位置关系1486 3 1两条直线平行和垂直1486 3 2两条直线相交1516 3 3点到直线的距离153本章小结155

第7章二次曲线       1607 1圆1607 1 1圆的标准方程1607 1 2圆的一般方程1627 1 3圆与直线的位置关系1637 2椭圆1657 2 1椭圆的定义和标准方程1657 2 2椭圆的几何性质 1687 3双曲线1727 3 1双曲线的定义和标准方程1727 3 2双曲线的几何性质1747 4抛物线1787 4 1抛物线的定义和标准方程1787 4 2抛物线的简单几何性质181本章小结184

第8章立体几何      1898 1平面的基本性质1898 1 1平面表示法1898 1 2平面的基本性质1908 2空间直线1918 2 1平行直线1928 2 2异面直线1938 3直线与平面的位置关系1958 3 1直线与平面平行的判定与性质1958 3 2直线与平面相交1978 4平面与平面的位置关系2018 4 1平面与平面平行2018 4 2二面角203*8 5多面体简介2068 5 1多面体的概念2068 5 2多面体的表面积公式2098 5 3多面体体积公式211*8 6旋转体简介214本章小结216

第9章排列与组合、概率简介      2229 1两个基本原理2229 1 1分类计数原理2229 1 2分步计数原理2239 2排列2259 2 1排列的定义2259 2 2排列数公式2269 3组合2289 3 1组合的定义2289 3 2组合数公式2299 3 3组合数的性质2309 4二项式定理2339 4 1二项式定理2339 4 2二项式系数的性质2349 5随机事件与概率2369 5 1随机事件2369 5 2随机事件的概率2379 6古典概率模型2409 7概率的加法与乘法公式2429 7 1概率的加法公式2429 7 2概率的乘法公式2449 7 3贝努里概率模型245

第10章向量与复数          25110 1向量的概念25110 2向量加减法、数乘向量25310 2 1向量的加法25310 2 2向量的减法25510 2 3数乘向量25610 3向量的坐标运算25810 3 1向量的坐标运算25810 3 2平面向量的坐标与点的坐标的关系260*10 4向量的数量积26110 4 1向量的数量积的定义26110 4 2用直角坐标计算向量的数量积263*10 5复数的概念26510 5 1复数的概念26510 5 2复数的几何表示267*10 6复数的四则运算26910 6 1复数的加法和减法26910 6 2复数的乘法和除法271*10 7复数的三角形式27310 7 1复数的三角形式27310 7 2复数三角形式的乘、除运算274

习题参考答案282